Sous-corps archimédien?

invite8133ced9 · 31/07/2015, 16h43

Bonjour,

Sans plus attendre, un peu de corps ordonnés:

Soit $\text{[math]}$ un corps ordonné. On note $\text{[math]}$ le sous-anneau $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ est un idéal maximal de $\text{[math]}$ , en effet pour $\text{[math]}$ un idéal de $\text{[math]}$ contenant strictement $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ positif, il existe un entier naturel $\text{[math]}$ non nul tel que $\text{[math]}$ . Ainsi $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ est donc un corps.

On peut munir $\text{[math]}$ de l'ordre $\text{[math]}$ .
Pour $\text{[math]}$ tels que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on a:

- $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ . Donc $\text{[math]}$

- $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ . Puisque $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Ainsi, $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ est dans l'idéal $\text{[math]}$ , c'est donc un élément supérieur ou égal à $\text{[math]}$ .
Donc $\text{[math]}$ .

Ainsi $\text{[math]}$ fait de $\text{[math]}$ un corps ordonné. Il n'est pas très difficile de voir qu'il est archimédien.

-S'il existe un plongement $\text{[math]}$ , son image est un sous-corps archimédien maximal de $\text{[math]}$ .
En général (dans ZFC), $\text{[math]}$ contient un sous-corps archimédien maximal, mais étant donnés deux corps archimédiens, l'un ne se plonge pas nécessairement dans l'autre. (exemple: les réels algébriques et $\text{[math]}$ )

-S'il existe un unique plongement $\text{[math]}$ , alors son image est le plus grand sous-corps archimédien de $\text{[math]}$ . On peut donc contredire la conjonction existence et unicité du plongement en trouvant un corps (a fortiori non archimédien) $\text{[math]}$ possédant deux sous-corps archimédiens maximaux, éventuellement isomorphes. Je n'ai pas trouvé d'exemple.

Je me demande dans un premier temps s'il existe un plongement $\text{[math]}$ , qu'en pensez-vous?

invite8133ced9 · 31/07/2015, 21h11

Bon déjà, pour l'existence et l'unicité, ce n'est pas toujours vrai: dans $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est infiniment grand, $\text{[math]}$ est contenu dans un sous-corps archimédien maximal distinct de $\text{[math]}$ , qui est aussi maximal.
Il n'est pas très difficile de voir que dans ce $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ se plonge dans $\text{[math]}$ , mais je ne sais pas s'il se plonge dans un sous-corps archimédien maximal contenant $\text{[math]}$ .

J'en profite pour détailler:

-Supposons qu'il existe un unique plongement $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ un sous-corps archimédien maximal de $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ se plonge dans $\text{[math]}$ via $\text{[math]}$ .
Ce plongement est en fait surjectif, car s'il existe $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ , alors pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ est archimédien* strictement plus grand que $\text{[math]}$ : impossible.

$\text{[math]}$ est l'unique plongement $\text{[math]}$ . En effet, si $\text{[math]}$ est un plongement, $\text{[math]}$ est un plongement, c'est donc $\text{[math]}$ par unicité, d'où le résultat. Donc $\text{[math]}$ , et $\text{[math]}$ . Cela montre que $\text{[math]}$ est le plus grand sous-corps archimédien de $\text{[math]}$ .

-Supposons seulement qu'il existe un plongement $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ un sous-corps archimédien de $\text{[math]}$ contenant $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ . On note $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ . Supposons $\text{[math]}$ . Alors puisque $\text{[math]}$ est archimédien, il existe un élément $\text{[math]}$ du sous-corps premier de $\text{[math]}$ strictement compris entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
On a $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ , et par stricte croissance de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , c'est-à-dire $\text{[math]}$ . Cela contredit $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ . De même, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est dans $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ est maximal.

*On montre par induction sur le degré que si $\text{[math]}$ n'est pas nul, alors $\text{[math]}$ en écrivant $\text{[math]}$ pour l'étape inductive.

invite8133ced9 · 01/08/2015, 08h22

Je me rends compte que le message précédent me permet de conclure qu'il y a bien toujours un plongement.

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