Sous-corps archimédien?
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Sous-corps archimédien?



  1. #1
    Mocassins

    Sous-corps archimédien?


    ------

    Bonjour,

    Sans plus attendre, un peu de corps ordonnés:


    Soit un corps ordonné. On note le sous-anneau , et .

    est un idéal maximal de , en effet pour un idéal de contenant strictement et positif, il existe un entier naturel non nul tel que . Ainsi , donc , donc donc .

    est donc un corps.

    On peut munir de l'ordre .
    Pour tels que et , on a:

    -, et car car . Donc

    -, et . Puisque , on a et . Ainsi, car est dans l'idéal , c'est donc un élément supérieur ou égal à .
    Donc .


    Ainsi fait de un corps ordonné. Il n'est pas très difficile de voir qu'il est archimédien.


    -S'il existe un plongement , son image est un sous-corps archimédien maximal de .
    En général (dans ZFC), contient un sous-corps archimédien maximal, mais étant donnés deux corps archimédiens, l'un ne se plonge pas nécessairement dans l'autre. (exemple: les réels algébriques et )

    -S'il existe un unique plongement , alors son image est le plus grand sous-corps archimédien de . On peut donc contredire la conjonction existence et unicité du plongement en trouvant un corps (a fortiori non archimédien) possédant deux sous-corps archimédiens maximaux, éventuellement isomorphes. Je n'ai pas trouvé d'exemple.

    Je me demande dans un premier temps s'il existe un plongement , qu'en pensez-vous?

    -----

  2. #2
    Mocassins

    Re : sous-corps archimédien?

    Bon déjà, pour l'existence et l'unicité, ce n'est pas toujours vrai: dans est infiniment grand, est contenu dans un sous-corps archimédien maximal distinct de , qui est aussi maximal.
    Il n'est pas très difficile de voir que dans ce , se plonge dans , mais je ne sais pas s'il se plonge dans un sous-corps archimédien maximal contenant .


    J'en profite pour détailler:

    -Supposons qu'il existe un unique plongement .
    Soit un sous-corps archimédien maximal de , alors donc se plonge dans via .
    Ce plongement est en fait surjectif, car s'il existe tel que , alors pour tout , , donc est archimédien* strictement plus grand que : impossible.


    est l'unique plongement . En effet, si est un plongement, est un plongement, c'est donc par unicité, d'où le résultat. Donc , et . Cela montre que est le plus grand sous-corps archimédien de .

    -Supposons seulement qu'il existe un plongement .
    Soit un sous-corps archimédien de contenant .
    Soit . On note . . Supposons . Alors puisque est archimédien, il existe un élément du sous-corps premier de strictement compris entre et .
    On a donc , et par stricte croissance de , , c'est-à-dire . Cela contredit , donc . De même, et est dans , donc : est maximal.



    *On montre par induction sur le degré que si n'est pas nul, alors en écrivant pour l'étape inductive.
    Dernière modification par Mocassins ; 31/07/2015 à 21h13.

  3. #3
    Mocassins

    Re : sous-corps archimédien?

    Je me rends compte que le message précédent me permet de conclure qu'il y a bien toujours un plongement.

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