Corps archimédien et commutativité

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai lu sur Wikipédia que si un corps est archimédien, alors il est commutatif. Mais la démonstration n'est qu'ébauchée, il est simplement mentionné qu'il s'agit d'encadrer deux éléments a et b du corps ainsi : et , avec et d un élément du corps, puis d'encadrer ab-ba pour montrer qu'il est nul.

Mais je n'arrive pas à aboutir dans cette démonstration ; j'arrive à prouver l'existence de l'encadrement de a et b, mais après l'encadrement de ab-ba me pose problème, ne sachant pas si l'ordre défini sur le corps est compatible avec les lois de composition interne.

Quelqu'un pourrait-il m'en dire un peu plus sur cette démonstration ? Y a-t-il des hypothèses particulières ?

Merci d'avance
Phys2
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[Flyingsquirrel]

Salut,

mais après l'encadrement de ab-ba me pose problème, ne sachant pas si l'ordre défini sur le corps est compatible avec les lois de composition interne.

Il l'est. L'article précise bien que K est un corps (totalement) ordonné.

[invite9a322bed]

Pour ton DM Phys2, voici un qui lui ressemble beaucoup avec corrigé, je pense qu'il y a le résultat de la question qui te bloque..Enfin je l'ai juste survolé ! Voici le lien : http://asoyeur.free.fr/fichiers_ps/2004/dl/dl_05.pdf .

[Seirios]

Il l'est. L'article précise bien que K est un corps (totalement) ordonné.

D'accord, je ne savais pas que cette propriété entrait dans la définition d'un corps ordonné. Considérons donc un corps (C,+,.) munit d'une relation d'ordre (total ?) , et soient a, b et d trois éléments de C, avec et . Si on C est archimédien, on peut alors montrer qu'il existe , tel que et . On a donc et , d'où , mais je ne vois pas comment aboutir a ...

Pour ton DM Phys2, voici un qui lui ressemble beaucoup avec corrigé, je pense qu'il y a le résultat de la question qui te bloque..Enfin je l'ai juste survolé ! Voici le lien : http://asoyeur.free.fr/fichiers_ps/2004/dl/dl_05.pdf .

Ma question ne concerne pas les sous-groupes de (c'était mon dernier DM, que j'ai déjà rendu )

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

On a donc et , d'où , mais je ne vois pas comment aboutir a ...

On peut déjà simplifier le majorant et le minorant :

(idem pour ). Par conséquent

s'écrit aussi

c'est-à-dire

Pour conclure il suffit de déduire de ces inégalités un encadrement tel que

( et sont deux éléments de indépendants de ) car peut prendre des valeurs arbitrairement petites.

[Seirios]

D'accord, merci