Théorie de Lie et Représentations

[invitef53905f1]

Bonjour
je suis en master 2 mathematique.
j'ai besoin d'un cours et exercices corrigées de Théorie de Lie et Représentations.

Sachant que je vais etudier les chapitre suivant:
1. Groupes et algèbres de Lie de dimension finie:
− Algèbres de Lie : définition, notion de représentation, exemples classiques, motivations et lien avec les
groupes de Lie.
− Algèbres de Lie nilpotentes, résolubles, semi-simples.
− Catégories de représentations d'une algèbre de Lie, représentations irréductibles, représentations semisimples.
Représentation adjointe.
− Complète réductibilité pour les algèbres de Lie semi-simples (théorème de Weyl).
− Structure des algèbres de Lie semi-simples. Systèmes de racines, groupe de Weyl.
2. Représentations des algèbres de Lie de dimension finie
− Modules de plus haut poids, modules de Verma, modules simples.
− Catégorie O. Paramétrisation des représentations simples. Séries de Jordan-Holder.
− Multiplicité d'une représentation simple dans une représentation de la catégorie O.
− Représentations de dimension finie, paramétrisations par les poids dominants.
− Structure tensorielle, morphisme de caractère, anneau de Grothendieck.
3. Algèbres de Lie de dimension infinie
− Algèbres de Kac-Moody, présentation de Serre.
− Structure des algèbres de Kac-Moody symétrisables. Sous-algèbres de Borel.
− Catégorie Oint des représentations intégrables dans la catégorie O.
− Représentations extrémales de Kashiwara.
− Algèbres de lacets et extensions. Isomorphisme entre les présentations des algèbres affines.
− Algèbres de Virasoro et de Heisenberg : lien avec les algèbres affines.
− Racines réelles, racines imaginaires.
− Catégorie des représentations de dimension finie. Représentations d'évaluation. Paramétrisation des
représentations simples par les polynômes de Drinfeld.
4. Equation de Yang-Baxter, groupes quantiques et systèmes intégrables
− Algèbres de Hopf.
− Algèbres affines quantiques : représentations de dimension finie, polynômes de Drinfeld.
− Equation de Yang-Baxter quantique et R-matrice universelle.
− Anneau de Grothendieck et q-caractères.
− Matrices de transfert, relations de Baxter.
− Représentations préfondamentales, spectre quantique et systèmes intéggrables quantiques

Peut quelqu'un me conseiller d'un lien qui convient.
Merci en avance.
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[Médiat]

Bonjour,

Vous pouvez commencer par : http://www.ulb.ac.be/sciences/ptm/pm...sFinalElla.pdf

dont le sommaire est :
1 Introduction 3
1.1 Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 General denitions 4
2.1 Lie algebra, structure constants, adjoint representation . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Ideal, abelian/simple/semisimple algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Simple nite-dimensional Lie algebras 5
3.1 The Cartan subalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Weights of a representation and roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 Cartan-Weyl basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 The Killing form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.5 Root chains and properties of roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.6 Euclidean structure on the roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.7 Positive roots and the triangular decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.8 Restrictions on angles and norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.9 Simple roots and their properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.10 Cartan matrix and Dynkin diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.11 Classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.12 Root diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.13 Application: Hidden symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Generalisation to Kac-Moody algebras 22
4.1 Generalisation of the Cartan matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 The Chevalley-Serre relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 The Killing form revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Roots of Kac-Moody algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.5 The Chevalley involution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.6 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Ane algebras 26
5.1 Definition and Cartan matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.2 Classification of ane Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.3 Innite-dimensional algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.4 Coxeter labels and central element . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.5 Untwisted ane algebras as the central extension of a loop algebra . . . . . 29
5.6 Twisted ane algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6 Representations and the Weyl group 31
6.1 Representations of sl(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2 Highest weight representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.3 Implications for the root system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.4 Integrable representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.5 The Weyl group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36