Bonjour à tous !
J'ai juste une petite question concernant ces fameuses algèbre de Lie et en particulier les crochets de Lie :
Est ce que que un crochet de Lie est forcement un commutateur ?
Parce que j'ai vu les opérateurs "commutateurs", étant écrit aussi avec des crochets, je me posais la question !
A priori un crochet n'est pas forcément un commutateur.
Par exemple on prend comme crochet de Lie le numérateur de la dérivation d'un quotient, on a pour deux fonctions dérivables,
On peut avoir donc pour
Alors que sur un espace vectoriel, la loi
D'accord donc toute crochet qui respecte les propriétés des corchets de Lie :
-Identité de Jacobi
-Application bilinéaire
-Antisymétrique
peut être choisi ? On est pas obligé comme avec les commutateurs de prendre "crochet" de A et B = AB - BA ?
Comme mon exemple l'indique.
Il faut faire aussi attention, un crochet de Lie est définit sur un espace vectoriel tandis que l'opérateur commutateur peut être défini sur un groupe ou un anneau, son intérêt sur les espaces vectoriel étant nul car il est justement nul.
D'accord ! tout est clair maintenant, donc un crochet de Lie n'est défini que sur les espaces vectoriels ? Et est ce que sur les groupes ou anneaux, il n'y a que des commutateurs comme crochets ou on peut en définir d'autres ?
En fait on ne défini pas un crochet de Lie sur un groupe ou sur anneau mais sur une "algèbre sur un corps". A ce moment là le commutateur est effectivement un crochet de Lie.
La raison est qu'il faut une structure d'espace vectoriel pour définir le crochet de Lie. Un groupe et un anneau a une structure trop pauvre pour pouvoir définir un crochet de Lie, alors que dans une algèbre sur un corps, on a la structure d'espace vectoriel nécessaire.
? On définit un crochet de Lie (une opération interne vérifiant certaines propriétés) sur un espace vectoriel, et on obtient ainsi une algèbre sur un corps (une algèbre de Lie), non?
La formulation proposée laisse penser qu'il faut une autre opération interne avant de définir le crochet. (On peut définir un crochet de Lie--le commutateur--à partir d'une autre opération interne associative, mais on peut définir un crochet directement, non?--il me semble que c'est le cas pour le crochet de Lie "usuel", celui entre champs de vecteurs sur une variété.)
Dernière modification par Amanuensis ; 05/08/2015 à 20h25.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
J'abonde dans le sens d'Amanuensis. Par exemple, le produit vectoriel sur
Ceci dit, le crochet de Lie entre champs vectoriels n'est pas défini de manière ad hoc sur l'espace vectoriel des champs vectoriels : ce dernier espace vectoriel est sous-jacent à l'algèbre des dérivations de l'algèbre des fonctions lisses de la variété, et le crochet de Lie est le commutateur pour l'algèbre des dérivations (l'opération « multiplication » étant la composition des dérivations).
Notons aussi que n'importe quelle algèbre de Lie finie admet une représentation matricielle fidèle en vertu du théorème d'Ado, de sorte que de manière indirecte, tous les crochets de Lie définis sur des espaces vectoriels finis sont des commutateurs. Ce fait justifie l'identification/la confusion souvent rencontrée entre « crochet de Lie » et « commutateur ». Par exemple, le produit vectoriel dans l'espace réel tridimensionnel correspond au commutateur matriciel sur l'espace des matrices complexes 2x2 hermitiennes et sans trace (en identifiant une base orthonormale aux matrices de Pauli).
Merci grandement pour toute ces précisions !
Oui d'après ce que je sais, je serai en accord avec les deux dernières réponses, Les crochets de Lie sont une loi de composition interne qu'on défini sur un espace vectoriel !
Donc une algébre de Lie comporte au minimum trois lois de composition ? Mais est ce que on peut aussi définir le produit vectoriel ou scalaire en plus du crochet de Lie ?
Et pour finir, il y a t-il d'autres crochets que les commutateurs sur les groupes ou anneaux ?
Merci
Et j'en profite dans ce sujet, pour faire un petit HS,
Dans la relation de commutation canonique en mécanique quantique, pourquoi si avec les crochets de Poisson, on a (p,q) = 1 alors en mécanique quantique on obtient un facteur ih (h barre ) ?
Bonjour,
une notion reliée à la question initiale: celle d'algèbre enveloppante [URL="https://fr.wikipedia.org/wiki/Alg%C3%A8bre_enveloppante"]
Annulé........................ .
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Merci i0577 pour la précision
Juste pour informer, oubliez mon HS, je viens de voir un autre sujet sur Futura qui a répondu à ma question, j'aurai du rechercher avant...
Mais reste toujours l'autre question !
Notez qu'à part d'avoir dit qu'on « défini[ssait] [...] un crochet de Lie [...] sur une "algèbre sur un corps" », ce qui laisse suggérer qu'il faut uneEnvoyé par Antoniuum
Vous avez parlé du commutateur, qui est une structure à la fois plus spécifique et à la fois plus générale que le crochet de Lie.
- Plus générale, car dès qu'un ensemble admet une multiplication avec inverses (sans forcément avoir un élément neutre ou être associative, bref sans être forcément un groupe), pour deux éléments
On peut même définir des commutateurs différemment, par exemple lorsqu'on a deux « multiplications » se comportant bien l'une par rapport à l'autre : c'est le cas par exemple des matrices, où l'addition et la multiplication permette de définir le commutateur
- Plus spécifique, car si on travaille avec une
Oui, encore qu'ici, afin d'éviter certaines confusions, je n'emploierais pas le terme « composition interne », mais plutôt « multiplication (interne) » ou mieux, « opération ». C'est que « composition » évoque aussi la succession d'endomorphismes, chose qui permet de généraliser le crochet de Lie comme commutateur matriciel à des crochets de Lie sur des algèbres d'endomorphismes (lire par exemple mon message précédent sur les champs vectoriels). Enfin... ultimement, il y a toujours un risque de confusion, considérant l'utilisation d'une banque assez limitée de mots...[...]Les crochets de Lie sont une loi de composition interne qu'on défini sur un espace vectoriel !
Attention : une algèbre de Lie comporte nécessairement, c'est-à-dire au minimum, deux lois de compositions internes, à savoir l'addition vectorielle (requise par le fait qu'une algèbre de Lie est un espace vectoriel bonifié) et le crochet de Lie. Il n'est pas garanti de prime abord qu'on puisse ajouter, à une algèbre de Lie donnée, d'autres opérations algébriques, et quand bien même ce serait possible, ces ajouts vont au-delà de ce qui est nécessaire (et, par définition, suffisant) pour avoir une algèbre de Lie. Puisque, par exemple, un produit scalaire n'est requis nulle part dans la définition d'un crochet de Lie (et donc d'une algèbre de Lie), il est bien maladroit de dire qu'une algèbre de Lie comporte un produit scalaire. L'existence d'un crochet de Lie sur une algèbre de Lie est une nécessité ; l'existence de deux crochets de Lie ou d'un produit scalaire sur une algèbre de Lie sont des contingences.Donc une algébre de Lie comporte au minimum trois lois de composition ? Mais est ce que on peut aussi définir le produit vectoriel ou scalaire en plus du crochet de Lie ?
Comme indiqué ci-haut, il n'y a pas qu'une seule construction donnant lieu à un « commutateur ». Un commutateur est une mesure de l'influence de l'ordre de deux éléments sur le résultat de leur composition (au sens de la composition interne). Si cet ordre est superflu, c'est-à-dire si le résultat ne dépend pas de l'ordre, on dit que les deux éléments commutent. Plusieurs types de mesures vérifiant une « définition » aussi vague sont possibles ; souvent, lorsqu'une addition est présente, on s'en sert afin d'implémenter la comparaison des résultats, afin de mesurer l'influence de l'ordre. Cela donne lieu en général à des mesures ayant les propriétés d'un crochet de Lie, mais un crochet de Lie en soi, ne faisant référence à aucune loi de composition interne prédéfinie, n'admet pas une telle interprétation de commutateur a priori.Et pour finir, il y a t-il d'autres crochets que les commutateurs sur les groupes ou anneaux ?
Ainsi, dès qu'on exhibe une loi de composition interne qui a les propriétés d'un crochet de Lie, il ne s'agit pas clairement d'un commutateur. En ce sens, des crochets qui ne sont pas des commutateurs, il y en a tout plein. Un exemple simple est le produit vectoriel.
Le théorème d'Ado permet cependant, dans certains cas à tout le moins, à isomorphisme d'algèbres près, d'attribuer a posteriori à un crochet de Lie une interprétation de commutateur.
Pour autant que je sache, personne ne sait le pourquoi de cette distinction, même dans un sens très faible de « savoir ».
Le passage de la théorie classique à la théorie quantique est, grosso modo, ce qu'on appelle la « quantification ». Il y a plusieurs méthodes plus ou moins équivalentes afin de quantifier un système classique en un système quantique. La plus simple et la plus ad hoc est la quantification canonique, qui prescrit le remplacement de la fonction constante 1 par l'opérateur (multiple de l'identité)
Le passage du quantique au classique est dans un sens plus subtil. Une approche passablement développée est l'approximation semi-classique, liée à l'analyse microlocale. La manière dont cette approche est généralement présentée a de quoi faire sursauter un physicien (du moins, certains physiciens...) : on prend la limite semi-classique, c'est-à-dire qu'on fait tendre
Wow ça c'est de la réponse !
Oui en premier lieu, excusez moi pour mon message mais en aucun cas, je me "levais" contre artlle ! Au contraire je le remercie grandement et bien entendu, il répondait tout simplement à ma question qui était surement mal formulée.
Et pour Universus, merci beaucoup pour ces nombreuses précisions !
Par contre pour le problème de mécanique quantique, j'ai vu une technique :
On part des relations de De Broglie pour la quantité de mouvement et on prend une fonction d'onde complexe, on trouve la formule de l'opérateur impulsion, et on calcule ensuite le commutateur de ces deux opérateurs.
Alors, pourquoi les relations de de Broglie sont-elles vraies ? de Broglie les a obtenu en réfléchissant sur la dualité onde-corpuscule et en utilisant des identités de la relativité restreinte ; l'argument que vous mentionnez part d'une fonction d'onde postulée et mène probablement à l'équation de Schrödinger (ça dépend de l'argument précis, mais c'est souvent le cas), qui n'est pas relativiste...
Il est fréquent de débuter avec une approche axiomatique, du type les axiomes de von Neumann, puis d'utiliser des arguments de symétrie du groupe de Galilée (ou de Poincaré) afin d'obtenir les commutateurs des principaux opérateurs générateurs de symétrie.
D'accord pour la mécanique quantique !
Et pour finir, juste une dernière question, cela m'évite de refaire un sujet :
Lorsqu'on a une application linéaire et particulièrement un endomorphisme tel que :
u(x) = Ax avec A un scalaire qui appartient à un corps commutatif
Oui c'est dans le cadre des valeurs propres et vecteurs propres !
Alors si on a trouvé les valeurs propres, a t-on le droit de diviser une application par un scalaire ? Pour trouver les vecteurs propres ?
Je sais qu'on peut trouver les vecteurs propres autrement avec une équation de la forme ax + by = 0 mais j'aimerai savoir pour l'endomorphisme !
Je pense que non parce que j'arrive pas à trouver si je divise par un scalaire !
Veuillez oublier cette question assez absurde... Je viens de m'en rendre compte, bien sûr qu'on ne peut pas puisque Ax est l'image de x par u(x) qui est donc une application ou une fonction
Comment ça: https://en.wikipedia.org/wiki/Moyal_bracket, s'articule avec ce qui a été répondu ici à cette question?
Un autre point: pour {p,q} en physique, on s'attend à une dimension une puissance de l'action. Si on l'écrit égal à 1, cela n'est pas clair du point de vue dimensionnel.
Dernière modification par Amanuensis ; 07/08/2015 à 06h21.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Merci Amaniensis pour les précisions
Par contre pour le Moyal product, ils ne disent pas non plus comment pour la quantification ils passent des crochets de Poisson à ceux de Moyal, c'est vraiment ce h barre, qui m'intrigue, est ce que c'est comme cela juste parce que cela concorde avec l'expérience ? Ce qui est plus que légitime pour la physique, on ne peut attendre mieux d'une théorie qui prédit les phénomènes dans la nature mais c'est juste que c'est un peu difficile à conceptualiser !
Et une autre question tiens qui me vient !
Je me souviens que sur Wikipedia, ils disent qu'un opérateur en mathématiques, est une application entre deux espaces vectoriels topologiques mais j'en conclus que c'est faux puisqu'on peut définir un commutateur sur des groupes ou anneaux !
L'algèbre de Groenewold-Moyal est une déformation de l'algèbre usuelle des fonctions lisses (définies sur un espace de phase), en ce sens qu'on modifie la multiplication entre fonctions afin d'obtenir une loi de composition interne, le produit-étoilé, qui vaut en première approximation la multiplication usuelle (point par point) de fonctions, mais qui diffère de celle-ci en des termes de
Ceci montre qu'il y a essentiellement deux modifications en jeu dans la quantification : une déformation des lois physiques classiques et une « opérationalisation » des objets étudiés. Pendant longtemps, la quantification (comme procédé mathématisé) était réduite à l'opérationalisation ; or, on ne peut pas opérationaliser toute la physique classique ni retrouver toute la mécanique quantique. Au moins, avec Groenewold et Moyal, en trouvant une théorie « classique » déformée, ils ont pu toute l'opérationaliser, montrant a posteriori l'importance de cette partie déformation. Historiquement, en physique, la quantification était davantage liée à la déformation qu'à l'opérationalisation, mais une vraie théorie quantique n'a émergé qu'une fois identifiée cette opérationalisation, ce qui peut expliquer le temps mis à renouer avec la partie déformation.
Ceci dit, malgré des parallèles évidents, la théorie de Groenewold-Moyal n'est pas tout à fait liée à l'approche semi-classique, la première étant plus algébrique et la seconde plus géométrique. Au-delà de cette première distinction, il ne m'apparaît pas clair comment lier ces deux approches (ou les lier à d'autres) ; les diverses « quantifications » et « classifications » pointent quelque peu dans des directions différentes, voire presque opposées...
Plusieurs considèrent néanmoins que ces comparaisons entre physique classique et physique quantique ont un intérêt limité : ultimement, la mécanique quantique est une meilleure théorie que la théorie classique et elle ne peut s'y réduire ou s'en déduire (sans quoi elle ne serait pas meilleure, mais équivalente). Il vaut mieux ainsi oublier la physique classique et utiliser une version axiomatique de la théorie quantique. Dans ce cas, l'existence du
Au contraire : en mécanique classique, le crochet
Ce n'est qu'une question de vocabulaire et de l'utilisation restreinte que nous faisons de certains termes. Si une « chaise » est quelque chose sur laquelle on peut s'asseoir, alors un « plancher » et une « table » sont des exemples de « chaises ». Nous restreignons l'utilisation du terme « chaise » à des objets plus précis, sans pour autant qu'une définition sans équivoque de ce concept soit disponible. Un opérateur est une application, une fonction, un morphisme, quelque chose qui agit/opère sur des éléments, etc., mais tout ce qui est une application, une fonction, qui agit, etc. n'est pas qualifié d'opérateur pour autant. Au moins, contrairement à « chaise », on s'est d'une définition assez précise de « opérateur » !
