Transformée de Fourier de dirac fois i

[GeeZGaW]

Bonjour,

en consultant les propriétés de la transformée de Fourier, je suis tombé sur une ligne de la forme :



Ça m'a un peu surpris, même si je ne doute pas du bien fondé de cette affirmation .

Première question : pourquoi est ce que la ligne suivante serait fausse ?



Seconde question : quelle serait la démo la plus simple que vous connaitriez pour démontrer la première égalité ?
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[Tryss2]

Tu devrais douter de cette affirmation, cette écriture est une abomination, en plus de donner un résultat faux.

Le Dirac n'est pas une fonction de , la définition de sa transformée de Fourier n'est donc absolument pas celle ci. Le Dirac n'étant pas une fonction numérique, écrire l'intégrale d'un Dirac n'a donc aucun sens mathématique (c'est une bêtise répandue chez les physiciens)

Le bon cadre pour traiter la transformée de Fourier d'un Dirac est celui des distributions tempérées. Dans ce cadre :









Donc la transformée de est , comme tu l'as obtenu "à la barbare".

Non, c'est probablement la transformée de Fourier de la dérivée de :





Mais





Donc,





Donc la transformée de est , le facteur provenant sans doute d'une définition légèrement différente de la transformée de Fourier

[GeeZGaW]

Merci de ta réponse !

> Le Dirac n'étant pas une fonction numérique, écrire l'intégrale d'un Dirac n'a donc aucun sens mathématique

Voyant ton raisonnement, je pense comprendre ce qui t'as choqué chez moi…
Cela dit, un produit scalaire, c'est une intégrale également, non ?

> Non, c'est probablement la transformée de Fourier de la dérivée de : [delta de dirac]

Effectivement, j'avais mal lu l'équation…

J'ai refait ton raisonnement, mais il y a un point que me gêne : est-ce que tu pourrais expliquer comment tu établis l'égalité suivante stp ?



Si je comprends bien, il y a une intégration par partie qui est sous-jacente… Ce qui voudrais dire qu'on a un delta de dirac qui se retrouve en dehors d'une intégrale, c'est bon ça ?!

[Tryss2]

Cela dit, un produit scalaire, c'est une intégrale également, non ?

Ca n'est pas un produit scalaire, mais le crochet de dualité entre S et S'. Si tu préfères, , la valeur de la distribution T appliqué à la fonction test . Et ça ne peut s'exprimer comme une intégrale que si T est une fonction localement intégrable (ce que n'est pas le Dirac)

J'ai refait ton raisonnement, mais il y a un point que me gêne : est-ce que tu pourrais expliquer comment tu établis l'égalité suivante stp ?



Si je comprends bien, il y a une intégration par partie qui est sous-jacente… Ce qui voudrais dire qu'on a un delta de dirac qui se retrouve en dehors d'une intégrale, c'est bon ça ?!

C'est simplement la définition de la dérivée d'une distribution : La distribution T' est la distribution définie par



Ou avec la notation crochet de dualité,

[A voir en vidéo sur Futura]

[GeeZGaW]

@Tryss2 merci bien pour tes éclaircissements !