Distribution de Dirac, Transformée de Fourier et fonctionnelle linéaire

[DarK MaLaK]

Bonjour, j'ai quelques problèmes de compréhension du livre de mécanique quantique de Basdevant et Dalibard. Je poste cependant dans la section "Mathématiques" car mes questions porte sur une annexe dont j'ai donné le titre.

Premièrement, à propos de la distribution de Dirac, pour tout fonction F continue en x=0, on a :



Par changement de variable, je n'arrive pas à montrer que :



De même, je ne comprends pas le passage en 3 dimensions :




Maintenant, on définit une suite de fonctions par :



On veut montrer que lorsque tend vers 0, tend vers . Pour cela, on calculer son intégrale (j'appellerai f la primitive de F) :



Cela ressemble à la définition de la dérivée de f au point et ce serait cohérent avec le résultat attendu. Mais, dans mon livre, le résultat donné est le suivant :



Si vous pouviez m'aider, ce serait sympa. J'aurai sûrement d'autres questions, notamment à propos des fonctionnelles, mais les réponses à ces premières questions m'avanceraient grandement.
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[invite1e1a1a86]

ou est le probleme avec le changement de variable?
tu fais le changement y=x-x0 tombe sur un delta de y donc ça vaut F(y+x0) en y=0


la fonction de Dirac en trois dimension est la généralisation de celle en 1D
si tu integres une fonction de f(x,y,z)
tu peux faire l'intégrale de x en premier => f(0,y,z)
puis de y=> f(0,0,z)
puis de z=> f(0,0,0)

ce n'est pas la dérivée de f en epsilon sur 2 mais quand epsilon tend vers 0 on trouve bien la dérivée.

mais sinon, avant de calculer la dernière intégrale, tu devrais reconnaitre une moyenne...

[DarK MaLaK]

Merci de ton aide SchliesseB, mais je ne comprends pas beaucoup mieux, car je n'ai peut-être pas été très clair dans mes questions :

ou est le probleme avec le changement de variable?
tu fais le changement y=x-x0 tombe sur un delta de y donc ça vaut F(y+x0) en y=0

[TEX] \int F(y+x_0) \delta(y)dy=F(x_0) [\TEX]

Je suis d'accord mais je voulais faire le changement de variable dans l'autre sens, en partant de l'intégrale que je connais déjà pour aboutir à cette égalité et c'est là que j'ai un peu de mal.

la fonction de Dirac en trois dimension est la généralisation de celle en 1D
si tu integres une fonction de f(x,y,z)
tu peux faire l'intégrale de x en premier => f(0,y,z)
puis de y=> f(0,0,z)
puis de z=> f(0,0,0)

Oui je pense que si la fonction a les bonnes propriétés (que j'ai oubliées), ça doit très bien marcher, mais ça ne montre pas mon égalité en fait. Car je trouve que :



Je ne comprends pas comment on montre que c'est en fait un produit des distributions de Dirac à une dimension.

ce n'est pas la dérivée de f en epsilon sur 2 mais quand epsilon tend vers 0 on trouve bien la dérivée.

mais sinon, avant de calculer la dernière intégrale, tu devrais reconnaitre une moyenne...

Oui, c'est ce que je voulais dire pour la dérivée... Pour la moyenne, je n'y avais pas pensé ! Je me suis donc rafraîchi la mémoire et j'ai cliqué sur cette page. Je suppose donc que le résultat de mon livre est en fait l'application directe de ce théorème en posant . J'ai bon ?

[invite1e1a1a86]

en posant c=theta epsion/2

pour le changement de variable dans l'autre sens, il faut alors non pas uiliser votre premiere égalité avec F mais avec F décalée de x0


enfin, ce que vous dite est vrai mais on definit delta comme "un truc que quand on integre on trouve f(0)" ou 0 est le vecteur nul pour R^n

il se trouve que le produit des trois deltas fait bien ça donc convient. donc par définition, on pose delta(r)=delta(x)delta(y)delta (z)
mais on peut aussi dire que delta(r)=delta(x,y,z)=delta(x, z)delta(y) etc etc....

[A voir en vidéo sur Futura]

[DarK MaLaK]

Ok merci, je pense que deux questions sur trois sont bien résolues. Pour la généralisation à trois dimensions, je pense comprendre le principe, mais je suis étonné qu'il n'existe pas de démonstration claire et mathématique de l'égalité. A moins que ce soit un point un peu compliqué de la théorie des distributions pour un débutant ? Dans ce cas, il me faudrait peut-être lire un cours sur ça. Il y en a de bons sur internet ?

[invite1e1a1a86]

Claude aslangul
http://fip.phys.ens.fr/spip.php?rubrique57
chapitre 2

c'est tres simple et intuitif. Il existe aussi des pdf plus "mathématiques" mais ce n'est pas mon truc.

[invite69d38f86]

Il y a aussi ce lien: maths pour la physique trouve dans la petite bibliotheque virtuelle de Rincevent de ce site (va voir en physique du supérieur)
Il y a une formule importante pour les calculs de distributions dans l'exercice 7 page 50
bonne lecture

[DarK MaLaK]

Merci à vous deux, je reviendrai peut-être poser des questions, mais pas tout de suite vu le nombre de pages des pdf ! En tout cas, ils répondent bien à mes attentes puisque je voulais également un cours sur l'intégration des fonctions à variables complexes !