Série de Fourier

[invite8415a75d]

BOnjour à tous,

J'ai une petite question sur les séries de Fourier :

On sait que toute fonction périodique est décomposable de manière unique comme somme de sinusoïdales et cosinusoïdales, on obtient ainsi des polynômes trigonométriques en prenant comme base les fonctions exponentielles complexes d'argument "inx" où n est l'indice de la sommation dans la série et x la variable d'une fonction.

Ma question est donc comment "prouve t-on que "toute" fonction est décomposable comme suit ?"

Enfaite je pense si j'ai compris que nous prenons la base précédente ma question se reformule comme suit :

"Comment prouve t-on que la base choisie est génératrice ?"
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[invitea47ed71f]

C'est le théorème de Weierstrass:
Ça n'a rien d'évident a priori.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...om.C3.A9trique

[gg0]

Bonjour.

"On sait que toute fonction périodique est décomposable de manière unique comme somme de sinusoïdales et cosinusoïdales"
Ah bon ? Moi, je ne le sais pas, pour la bonne raison que c'est faux. par contre, on associe à certaines fonctions une série de Fourier qui redonne (ou pas) la fonction initiale. Déjà, il faut que la fonction soit localement intégrable, sinon il n'y a pas de coefficients pour la série. Ensuite, si la fonction n'est pas continue, on a des soucis.

Tout cela se trouve dans un bon cours sur les séries de Fourier.

Cordialement.

[invite8415a75d]

J'ai écris ma question à la va-vite, mais bien sûr la fonction doit être continue et dérivable donc sur in intervalle symétrique par rapport à 0 et qu'elle remplisse les conditions de Dirichlet.

J'ai regardé un cours sur les séries de Fourier qui commence sur les polynômes Trigonométriques et on y démontre l'aspect orthonormale de la base en question mais rien sur son aspect générateur...

Merci marco pour le lien, en effet, je vais voir cela de plus près.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Heu ... les séries de Fourier ne sont pas des polynômes trigonométriques.

D'autre part, les séries de Fourier convergentes de même période 2.pi définissent un espace de fonctions SF dont les exp(i.n.x) sont par nature une base (de dimension infinie) : Elle est génératrice par définition de SF, et libre comme tu l'as vu. SF contient des fonctions continues, mais aussi d'autres fonctions plus ou moins discontinues, pas toujours dérivables (parfois jamais dérivable).
L'étude et la classification des séries de Fourier occupe les mathématiciens depuis 2 siècles et est loin d'être finie.

Cordialement.