Prolongeable par continuité / dérivabilité

[invite0e29aa7d]

Bonjour,

Quelqu'un peut-il me confirmer cela ?

• Si f n'est pas prolongeable par continuité en a alors f n'est pas dérivable en a
• Si f est prolongeable par continuité en a alors f n'est pas forcément dérivable en a

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[Seirios]

Bonjour,

Pour le premier point, cela n'a pas vraiment de sens : quelle pourrait être la dérivée si la fonction n'est même pas définie au point considéré ? Pour le second point, absolument. L'exemple classique est en .

[gg0]

Heu ...

attention, la fonction proposée par Seirios est infiniment dérivable.
Un exemple de fonction prolongeable par continuité en 0 mais pas dérivable en 0 est la fonction f qui vaut f(x)=-x si x<0 et f(x)=x si x>0 (une fois prolongée, c'est |x|).

Cordialement.

[leon1789]

pour le premier point, je dirais "si f n'est pas continue en a, alors f n'est pas dérivable en a".

Pour le second point, absolument. L'exemple classique est en .

Cette fonction est prolongeable en 0 de manière dérivable (dérivée nulle). ...argh, grillé par gg0 !

Mais la fonction fait l'affaire

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Effectivement, désolé... Cela m'apprendra à ne pas écrire les calculs (de tête, tout marchait très bien !).

[leon1789]

Ma femme (comme dirait Colombo) vient de me dire que tu pensais peut-être à .
Non ?

[invite0e29aa7d]

Mille merci à tous

J'ai une troisième affirmation a confirmer

• Pour montrer que f est de classe sur il suffit de montrer que f est continue et dérivable sur et non de montrer que f' est continue sur son intervalle

[invite0e29aa7d]

Je viens de remarquer mon erreur

Je confondais f' définie sur son intervalle et f' continue sur son intervalle. f peut être dérivable sur c'est-à-dire f' définie sur et à la fois discontinue sur

Correction de l'affirmation :

• Pour montrer que f est de classe sur il suffit de montrer que f est continue et dérivable sur et de montrer que f' est continue sur son intervalle

[gg0]

Oui, c'est la définition de C¹.

Mais inutile de démontrer que f est continue : si elle est dérivable sur I, elle y est continue.

[Seirios]

Ma femme (comme dirait Colombo) vient de me dire que tu pensais peut-être à .
Non ?

Effectivement, les calculs se passent mieux ici Merci !

[Médiat]

Bonsoir,

La notion de prolongeable n'amène pas grand chose ici, du coup la fonction définie par f(x) = |x| si x!= 0 et non définie en x = 0 est prolongeable par continuité et n'est évidemment pas dérivable en 0