Question sur le théorème de Heine

[invite8f6d0dd4]

Bonjour à tous.

J'aurai une question sur la démonstration tout en bas de cette page (démonstration par le théorème des bornes) : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...%A8me_de_Heine

Je ne suis pas sur de comprendre la démo, voici ce que je ne comprends pas.

Ce que j'ai compris c'est qu'on a :

Mais pour moi cette propriété n'implique pas :



La seule chose qu'on peut déduire de la première propriété c'est qu'on doit nécessairement avoir pour avoir , mais ce n'est pas une condition suffisante à priori.

Pourriez vous m'aider ?

Merci.
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[invite18c42f07]

Salut !

Pourtant si, la première implication que tu as écrite implique bien la seconde, mais la raison profonde tient en ce fait qu'on a justement construit et choisi pour que ça marche.

Le théorème des bornes dit qu'il existe tel que . Il en découle effectivement la première implication que t'as écrite mais pour trouver la seconde le plus simple n'est pas de partir de celle-ci mais de raisonner plutôt par l'absurde:

Soit un couple quelconque tel que .

Supposons par l'absurde qu'on ait . Comme c'est justement la définition de K, on a et donc , ce qui en contradiction directe avec notre hypothèse de base .

Conclusion: .

[invite18c42f07]

Le principe de démonstration du théorème de Heine est semblable à beaucoup d'autres : on se donne un quelconque et le but est de trouver un (pas forcément unique) convenable en accord avec la propriété qu'on cherche à prouver, ici la continuité absolue. Pour le coup, un tel est directement exhibé par le théorème des bornes.

La seule chose qu'on peut déduire de la première propriété c'est qu'on doit nécessairement avoir pour avoir , mais ce n'est pas une condition suffisante à priori.

Oui et non. Faut pas perdre de vue ce qu'on veut montrer. Non, puisque comme tu le dis c'est la seule chose qu'on peut déduire, mais en l'occurrence c'est bien la solution à nos problèmes on a trouvé un qui vérifie la propriété de continuité absolue, c'est tout ce qu'on demandait et Oui, effectivement on doit "nécessairement" avoir car ce exhibé est la borne inférieure de et constitue donc en cela le max des valeurs acceptables (en effet, tout tel que aurait manifestement pu convenir).

Quentin

[Seirios]

On peut également utiliser le même argument et raisonner par contraposée. Cela revient exactement au même, mais certains n'aiment pas les preuves par l'absurde

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8f6d0dd4]

Salut.

Je suis d'accord avec vos démos mais en fait je viens de comprendre mon erreur.

J'avais pris la contraposée de la mauvaise proposition, à savoir :



Car en soit, cette proposition ci dessus est fausse à priori, c'est l'implication inverse qui est vraie (pourriez vous confirmer).

J'aurai donc du écrire :





Car ensuite, on prend la contraposée de la propriété entre crochets et on arrive à :



Êtes vous ok ? Surtout si je fais des erreurs avec les quantificateurs soyez vraiment intransigeant avec moi svp car vu que je me remet à ces maths là il faut que je recomprenne vite et bien comment ça fonctionne.

Par exemple vous êtes d'accord avec moi qu'écrire :

signifie que dépend du couple (x;y), donc par exemple écrire une inégalité ou une égalité entre une fonction de x;y et juste après c'est un non sens (car on pourra toujours trouver un qui fonctionne).

En revanche : signifie qu'il existe un unique pour tous les (x;y) ce qui est beaucoup plus restrictif.

Merci beaucoup