racine uniformément continue sur [0,1] sans Heine

[invitef639ad4f]

Bonjour a tous , alors je voudrais prouver l'uniformément continuité de racine sur 0,1 sansHeine

rac(x)-rac(y) = (x-y) / (rac(x)+rac(y))

avec x-y < e => on essaye de majorer rac(x)-rac(y)
sur R+ jy arrive mais sur [0,1] je bloque.

rac(x)-rac(y) < (x-y) / (epsilon) si rac(x) > epsilo, ALORS < e/epsilon < epsilon car e fixé
OU < epsioln si rac(x) < epsilon

est-ce que ca mène quelque part ca ?
Merci d'avance
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[invite47d212a0]

bonsoir,
comment ça se fait que t'y arrives sur R+ mais pas sur [0,1] alors que R+ contient cet intervalle ?
sinon, après avoir bidouillé , j'ai trouvé ca :
pour a > 0, on peut montrer que est uniformement continue sur
soit .
soit e > 0, et x, y > a vérifiant
on a alors
ce qu'on veut c'est déterminer e (ne dépendant pas de x et y) et vérifiant .
on trouve alors facilement comme solution par exemple
mais dans le cas de R+, ce raisonnement ne peut pllus marcher, il faut alors anticiper
on peut montrer alors que pour y >= x, (je te laisser le soin de la retrouver)

[inviteea028771]

ce qu'on veut c'est déterminer e (ne dépendant pas de x et y) et vérifiant .

Attention, ton a dépend (de façon cachée) de x et y.

Non, plus simplement, il faut se servir du fait que la fonction racine carrée est sous additive : (suffit d'élever au carré pour le démontrer)

On a alors, pour et , que



Ce qui entraine que si alors

Donc en posant, avec les notations classiques, , on a la continuité uniforme