Bonjour à tous,
Voilà en regardant certaines notions, je me suis aperçu que je ne comprends pas très bien celle de suite de Polynômes : Un polynôme est déjà une somme de monômes, alors quand on parle de suite de Polynômes je ne vois pas très bien comment le visualiser, c'est à dire qu'on indexe chaque polynôme avec un indice ( entier naturel), mais après je vois pas très bien à quoi ça ressemble formellement !
Merci d'avance
Tu vois une série télévisée : c'est une suite d'épisodes
Pour les polynômes, c'est pareil ! une suite de polynômes, c'est un polynôme P0, puis un autre polynôme P1, puis un autre polynôme P2, ...
Merci leon pour ta réponse, D'accord ! Mais donc mon problème de compréhension, c'est surtout dans le théorème de Weierstrass : toute fonction continue peut être approximée par une suite de Polynômes ( j'ai oublié des contraintes bien sûr mais c'est juste pour l'idée ! ) mais pourtant une fonction peut être approximée aussi par une série entière ( l'exponentielle etc... ).
La série entière et la suite de ces polynomes sont donc équivalentes ou non ?
Non.Envoyé par Antoniuum
C'est comme des vêtements de différents genres : on peut porter une chemise, un tee shirt, une robe, et pourtant ce n'est pas la même chose.
Une fonction peut être approchée (revêtue) par des séries de genres très différents : une suite de séries entières, une suite de polynômes, et j'en passe.
Quand vous dites "par des séries de genres très différents : une suite de séries entières, une suite de polynômes, et j'en passe.", une suite de polynomes est une série ?
Et donc pour l'exponentielle, il s'agit d'un cas où la suite n'a qu'un seul terme, c'est cela ?
Attention, une série entière n'est pas un polynôme !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Pas le terme du Polynôme mais de la suite !
Je ne comprends pas ce que vous voulez dire : une suite a une infinité de termes
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Quelle confusion !
N'importe comment, l'exponentielle n'est pas approximée par la suite de polynômes
(pas non plus par)
En effet, la différence
peut toujours être rendue aussi grande qu' l'on veut.
Par contre, pour un x fixé, la suite
Cordialement.
Alors voilà en partant du théorème de Weierstrass, une fonction continue peut être approchée par une suite de Polynômes : qui a chaque terme de la suite associe un polynôme non ?
Et donc pourtant pour certaines fonctions, on peut les approcher par une série entière, la fonction exponentielle, et cette série ( dans le cas de l'exponentielle ), il ne s'agit pas d'une suite de séries ou autre chose, c'est juste une simple série d'où ma remarque sur le "seul terme de la suite"
message annulé !
Dernière modification par gg0 ; 18/08/2015 à 15h24.
Je reprends mon message, parti trop vite:
Pour clarifier les choses, plaçons-nous sur un intervalle [a,b]. Le théorème de Weierstrass parle d'une approximation uniforme par une suite de polynômes. Pour n'importe quelle fonction continue. Donc toutes celles qui ne peuvent pas être développées en série entière.
Sur cet intervalle, on connaît une suite de polynômes qui approxime uniformément l'exponentielle : La suite des sommes partielles de sa série (que je citais dans un précédent message). Non seulement on n'a, dans ce cas, pas besoin du théorème de Weierstrass, mais on connaît d'avance la suite, contrairement au cas général.
Par contre, il n'y a pas un seul polynôme dans la suite (ils sont même tous différents).
Finalement, ton problème est probablement une difficulté de vocabulaire, car le cas de l'exponentielle ne se distingue pas fondamentalement du cas général : Une suite qui approxime uniformément sur un intervalle fermé borné.
Cordialement.
Merci pour ta réponse gg0,
Donc si on se restreint à un intervalle borné et fermé, toute les fonctions même celles qui se développent en série entière peuvent être approximées par une suite de Polynômes ?
D'accord pour ça, et en passant j'ai compris enfin la notion de suite de Polynômes, à chaque terme, on associe enfaite le degré d'un polynôme( qui est "le même" , enfin on m'a compris...) .
Mais donc une dernière chose, alors si on fait un passage à la limite pour n qui tend vers +infini, de la suite de Polynômes de terme Pn, est ce qu'on peut généraliser le résultat du théorème en disant que toute fonctions peut être approchée par une série entière ?
Toutes les fonctions continues, en particulier les fonctions développables en série entière sur l'intervalle.
"D'accord pour ça, et en passant j'ai compris enfin la notion de suite de Polynômes, à chaque terme, on associe enfaite le degré d'un polynôme( qui est "le même" , enfin on m'a compris...) ." ?? Non, pas du tout. Tant que tu te contentes de "te comprendre", tu es à peu près sûr ne ne pas avoir compris ("ce qui se comprend bien s'exprime clairement, ..." N. Boileau).
Un polynôme est une somme (donc finie) de monômes. A priori, aucun rapport autre que d'appartenir à la suite ne relie un terme au suivant.
Une série est une suite dont les termes sont des sommes finies reliées les unes aux autres (chaque terme est le précédent plus un terme nouveau). Donc une suite de polynômes n'a aucune raison d’être une série entière.
J'ai de plus en plus l'impression que tu ne connais pas grand chose aux notions dont tu parles. Que tu ne sais pas vraiment ce qu'est un polynôme, ce qu'est une suite, ce qu'est une série entière, ... Car tu fais des généralisations des plus hâtives.
Je n'ai pas pleinement le temps d'exposer mes idées, j'ai écris à la va vite, mais je connais ces notions.
Merci
J'ai le même ressenti.
Par politesse, il serait bon de t'exprimer clairement, et surtout de réfléchir avant d'écrire ... Là, tu passes pour un lourdaud.
Oui je m'en excuse, il est bien vrai que dés que j'ai une question, j'ai la fâcheuse habitude de venir poser la question avant de bien essayer de comprendre le pourquoi sur papier, honte à moi...
Bon j'ai bien regardé tout ceci et tout cela et ça m'a l'air bon, pour conclure j'aurai une question à vous poser gg0 et là j'ai bien écrit plusieurs pages dessus, c'est en lien avec les développements limités sur un sujet antérieur :
Comme la dernière fois, je cherche à comprendre comment on établi l'expression du reste de Lagrange ou intégral de Laplace ! Je sais qu'on peut démontrer par récurrence mais je cherche surtout une preuve en partant de la formule de Taylor.. J'ai essayé en généralisant le théorème des accroissements finis, ou de la moyenne, mais je tourne en rond !
Je ne demande bien sûr pas une réponse toute faite, juste une piste.
Je ne me souviens pas de grand chose à ce sujet : J'ai étudié ça (seul) il y a 50 ans ! Pour le reste intégral, ça vient seul par des intégrations par parties, si je ne me trompe pas. Pour l'autre, cherche dans des bouquins un peu anciens, genre le cours de Goursat.
Mais comme en maths, on se contente de preuves, retrouver comment un résultat a été obtenu initialement est du domaine de l'histoire des maths. Et une présentation moderne peut donner une fausse idée de l'origine d'un résultat. Sans compter que dans certains cas, c'est une intuition qu'on généralise avant de la démontrer.
Cordialement
Merci de ta réponse gg0,
Je viens de revoir, enfaite en partant du théorème fondamental de l'analyse et en généralisant, on comprend bien intuitivement le reste intégral de Laplace (puis on démontre par récurrence ) , pour la formule de Taylor-Lagrange, j'ai vu une méthode en généralisant le théorème de Rolle, mais je trouve un peu moins intuitive pour le coup, je vais alors me pencher dessus !
