Base d'un sous-espace vectoriel

[freedman54]

Bonjour,

J'ai un exercice à terminer, mais je n'arrive pas à répondre à l'une des questions:

On pose M={a.f+b.Id|(a,b)R²}

1/Montrer que M est un sous-espace vectoriel de L(E).
2/En déterminer une base et sa dimension.

J'ai réussi la question 1, heureusement car l'énoncé fait 1/2 page mais mon problème est plutôt pour la question 2, je n'est aucune idée de comment faire, enfin si mais je ne sais pas si c'est la bonne démarche:

On me demande de trouver une base, donc je dois trouver une famille qui soit libre et génératrice c'est à dire:

1. c.(a.f+b.Id)=0 => c=0 (il me suffirait donc de composer par f²(fof) pour obtenir c.(a.f³+b.f²)=0 et je sais que f³ et f² sont différents de 0 donc c.(a.f³+b.f²)=0 => c=0. Cela me prouverai que M est libre

2. Pour montrer que f est génératrice, c'est là que je suis bloqué.

3. Pour trouver la dimension, je n'aurai qu'à dénombrer le nombre d'élément(s) de Vect(M) donc je ne devrait pas avoir trop de soucis.

Une idée sur la 1. et la 2. ?

Merci
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[PlaneteF]

Bonjour,

On pose M={a.f+b.Id|(a,b)R²}

1/Montrer que M est un sous-espace vectoriel de L(E).
2/En déterminer une base et sa dimension.

Et c'est quoi et ?

(...), heureusement car l'énoncé fait 1/2 page

Ben tu as de la chance parce que tu as un énoncé complet, ... nous pas

je sais que f3 et f2 sont différents de 0

Nous pas, ... même remarque que précédemment !

Cela me prouverai que M est libre

Vect(M)

Mais de quoi parles-tu ? ... est un espace vectoriel, pas une famille de vecteurs.


Quelle base proposes-tu pour ?


Cordialement

[freedman54]

Excusez-moi, je pensais ses informations non nécessaires.

Je me rattrape: donc E est un K-espace vectoriel de dimension finie. f est un endomorphisme de E tel que: f²=1/2.f+1/2.Id. (autant le préciser:f^-1= 2.f-Id)

Erreur de ma part, je vais mieux l'écrire: c.(a.f+b.Id)=0 => c=0 (il me suffirait donc de composer par f²(fof) pour obtenir c.(a.f³+b.f²)=0 et je sais que f³ et f² sont différents de 0 donc c.(a.f³+b.f²)=0 => c=0. J'en conclue donc que tout les vecteurs de M sont linéairements indépendants, non ?

[gg0]

Bonjour.

je ne sais pas ce que tu vas chercher. Tu as une famille génératrice évidente de M, il suffit d'en déduire une sous famille libre et toujours génératrice.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Pixin]

Bonjour déjà, si c(af+bId)=0 => c=0, cela signifie que af+bId est libre.

Mais je pense qu'une astuce pourrait grandement te faciliter la tâche ?
M est l'ensemble des combinaisons linéaires de f et Id non ? Ne peut-on donc pas l'écrire plus simplement ?

Pixin.

[Resartus]

Je ne vois pas l'interêt d'utiliser f^3 ou f^2. L'espace engendré est de dimension au plus 2, puisque on connait deux générateurs : f et Id.

La question est donc de savoir si f peut être indépendant de Id, ou dit autrement, peut-on trouver un f différent de kId tel que f2=1/2(f+Id).
On voit que f=Id est une solution. Y a t'il une autre? Et est-elle independante de Id?

[PlaneteF]

J'en conclue donc que tout les vecteurs de M sont linéairements indépendants, non ?

... Hein ? ... Quoi ? ... Was ist das ? ... Que veux-tu dire ? ...

Par exemple, et appartiennent à et ne sont pas linéairement indépendants !

(...), non ?

Ben non

Cdt

[freedman54]

Pixin, il est vrai que M est l'ensemble des combinaisons linéaires de f et Id, on peut donc écrire que M=Vect(f+Id) ?

Resartus, si j'ai bien compris: pour voir si f et Id sont indépendants, on étudie le cas quand f=k.Id et ceci est le cas quand k=1 ou k=-1/2 mais je ne vois à quoi cela sers (ou plutôt je n'arrive pas à l'exploiter).

PlaneteF, oui tout à fait...

[PlaneteF]

Pixin, il est vrai que M est l'ensemble des combinaisons linéaires de f et Id, on peut donc écrire que M=Vect(f+Id) ?

Non, ...

Resartus, si j'ai bien compris: pour voir si f et Id sont indépendants, on étudie le cas quand f=k.Id et ceci est le cas quand k=1 ou k=-1/2 mais je ne vois à quoi cela sers (ou plutôt je n'arrive pas à l'exploiter).

Cf. ce que je viens d'écrire pour une réponse imméditate.


Cdt

[leo11]

Je pense que tu devrais commencer par reprendre ton cours. Ensuite, tu verras pour les exos...

[Resartus]

A condition de faire attention à la non commutativité le cas échéant, on peut faire de l'algèbre sur des endomorphismes.
Que peut-on dire si (f-Id)(f+1/2Id) vaut 0?

[freedman54]

Oui n'importe quoi, Merci de me corriger ! c'est effectivement M=Vect(f,Id).

Cependant je ne comprend toujours pas où tu as utilisé le fait que f=k.Id pour k=1 ou k=-1/2 signifie que f et Id sont indépendants.

[gg0]

Heu ... si f=k.id, alors f et Id sont ... (premier cours sur les espaces vectoriels en L1)

Tu as une partie génératrice, reste à savoir si elle est libre, donc si ...

C'est un exercice pour débutants !!!

Cordialement.

[freedman54]

leo11,

Il est évident que si je suis sur ce forum c'est tout simplement que je n'est aucun exemples/exercices similaires dans mon cours. Le fait est que des exercices sur les sous-espaces vectoriels j'en ai à l'appel mais les cas sont toujours très simples (polynômes, vecteurs de R^3 ou R^4 ou application pouvant se mettre sous forme matriciel...). Ici ce n'est pas le cas, et j'ai donc beaucoup de difficulté.

[gg0]

Pas besoin d'avoir des exercices similaires. Simplement connaître les bases de l'algèbre linéaire. Tu fais un exercice sur des situations compliquées, il faudrait déjà connaître correctement les tout premiers chapitres (espaces vectoriels, combinaisons linéaires, sev, parties libres, parties génératrices, bases, dimension); le cours, bien assimilé. Sinon, tu vas passer ton temps à essayer d'imiter des textes de corrigés d'exercices dont tu ne comprends pas la logique.
En maths, on utilise les théorèmes et définitions du cours pour réécrire les hypothèses, les transformer progressivement jusqu'à obtenir les conclusions. dans une démarche irréprochable, car pour la refuser il faut refuser une hypothèse, on une règle du cours. Mais si on accepte ces éléments, on ne peut contester la conclusion, même si on n'a pas envie d'y croire.
Si dans un corrigé d'exercice tu ne comprends pas comment on est passé d'une ligne à une autre, d'une phrase à une autre, c'est généralement que tu ne connais pas une règle classique, que tu connais mal le cours.
Donc prends le temps de réétudier complétement les cours de base.

Cordialement.

NB : les exercices n'ont aucun autre intérêt que d'apprendre à utiliser les règles du cours.

[Resartus]

Rectificatif : J'ai été trop rapide (et faux) dans mes réponses. Mais je ne sais pas si ma réponse va dépasser tes connaissances actuelles
De AB=0, on ne pas conclure que A=0 ou B=0.
et de (f-Id)(f+1/2Id)=0, on ne peut pas conclure non plus que f vaut nécessairement Id ou -1/2Id

Tout ce qu'on peut dire de f est que ses valeurs propres sont toutes soit 1 soit -1/2. Par exemple en dimension 2 la matrice (1 0, 0, -1/2) répond à la question sans être dépendante de Id.

Concernant l'exercice, je pense qu'il faut donc répondre simplement que l'espace engendré est de dimension 2, sauf si f vaut Id ou -1/2Id

Désolé de t'avoir induit en erreur

[PlaneteF]

et de (f-Id)(f+1/2Id)=0, on ne peut pas conclure non plus que f vaut nécessairement Id ou -1/2Id

Sauf qu'ici, on n'est pas obligé d'utiliser cette factorisation --> Dans le cas où on le remplace directement dans la relation , ce qui permet de trouver les 2 valeurs de qui nous intéressent.

Cordialement