convergence uniforme
Bonsoir les matheux,
j'ai un petit problème avec ce qui suit:
Soit une fonction,telle que
J'ai besoin de montrer que la limite de la dérivée, i.e. la deuxième limite est uniforme en
Cordialement
Il doit manquer des conditions sur la suite (au moins convergente), car sinon, la seule solution serait que f soit une constante...
bonsoir,
malheureusement on connait rien sur la suite, donc il n y a pas une possibilité de faire cela??
en vérité ce que je voudrais montrer c'est l'interversion de limite/dérivée, i.e. montrer que
et d'après un théorème que j'ai vu, il faudrait que la dérivée converge uniformément!!!!
A votre avis cet interversion est elle possible avec la condition de l'uniforme continuité???
Cordialement.
Si on n'a pas au moins une condition de convergence sur la suite, on peut prendre par exemple 0, a, 0, a, 0, a, ce qui donne f(t+a)=f(t) d'où f est constante.
Il faut au minimum que sn converge.
Mais cous parlez de convergence uniforme. Voulez-vous dire qu'il existe une famille de suites (sz)n dont chaque sz tend vers Sn, et que ces Sn tendent vers S?
Si oui, pas de problème pour la démonstration si S est fini. Par contre, cela doit être faux si Sn tend vers l'infini (à moins que f et f' soient bornées : à vérifier).
Dernière modification par Resartus ; 02/09/2015 à 09h21.
Je rectifie ce que j'ai dit. C'est faux si Sn tend vers l'infini, même si f' est bornée et Sn converge uniformément.
Il suffit de prendre comme contre exemple un f' oscillant de plus en plus rapidement quand t tend vers l'infini.
Mais cela ne semble pas du tout être votre question initiale...
Dernière modification par Resartus ; 02/09/2015 à 09h31.
Bonjour,On connait rien sur la suite (S_n), elle est quelconque, tout ce qu'on sait: les fonctions f et f' sont bornées et uniformément continues et on cherche à montrer l'interversion de la limite avec la dérivée comme mentionné dans mon précédent message !!Cordialement
J'ai pas vu votre rectification !!Oui je pense que ça ne rentre pas dans le contexte de ma question !Je rajoute à ma derniere réponse que: on cherche l'interversion des deux limites sachant que les deux limites existent ponctuellement !!
Il faut effectivement que f' soit uniformément continue, car sinon n pourrait trouver une suite convergent vers un des points de f' où il n'y a pas continuité uniforme, où f'(t+Sn) n'a pas de limite. Si f' respecte cette condition, alors oui, pour toute suite convergente vers une limite FINIE S, on peut permuter la dérivation et la limite...
Mais comment je pourrai montrer que cette interversion est vraie ???
Merci encore
C'est pratiquement la définition de la continuite uniforme de f' en x=t+S.
cf par exemple http://www.bibmath.net/dico/index.ph...c/contunif.htm
Il suffit de poser delta =sk-S où S est la limite de la suite sk et epsilon=f'(x-delta)-f'(x).
Et comme f'(S) =df/dt en S...
Bonsoir,
Mais le problème est qu'on sait pas si la suite
Il existe une suite
alors est ce que cette interversion est possible???
Cordialement
Bonjour,
des suggestions s'il vous plait!!!
Je pense avoir trouvé un contre exemple....
Imaginons que la suite soit simplement 0, 1, 2, ....
La fonction f' est une sorte de courbe oscillante dont la forme quand t tend vers l'infini ressemble de plus en plus à un signal carré.
On peut imaginer par exemple qu'on part d'une sinusoide et qu'on rajoute chaque fois que t dépasse n un sin((2n+1)x/pi)/(2n+1) pour reconstituer progressivement un signal carré.
En tout point fini, la fonction f' est donc uniformément convergente et f aussi...
Ensuite la suite f'(t+Sn) vaut 0 quand t vaut exactement un nombre entier, mais tend vers 1 ou -1 pour toutes les autres valeurs de t.
La fonction g(t) existe mais n'est pas continue en ces points entiers...
