Prouver que Σ(1/k)*Σ(k) ≥ n²

[inviteabaf03e3]

Bonjour, bonsoir
Je dois rendre mon DM et je suis bloqué sur la récurrence suivante : "Prouvez que pour tout n entier naturel, Σ(1/k)*Σ(k) >= n²" (sommes de 1 à n)
Je ne maîtrise pas encore bien les récurrences, merci d'avance pour votre aide.
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[Médiat]

Bonjour,

Et qu'avez-vous fait jusqu'à maintenant ?

[invite9dc7b526]

A quoi sert de faire une récurrence ici?

[Resartus]

Cela me parait plutôt sympa, d'utiliser la récurrence. Pas besoin de connaitre ou de retrouver la somme des n premiers entiers....
Il suffit d'exprimer la formule en n+1 en fonction de la formule en n et de comparer à (n+1)^2...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9dc7b526]

j'aurais plutôt appliqué l'inéglité de Cauchy-Schwartz aux vecteurs (1,1/2,...,1/n) et (1,2,...,n) (et il faut aussi utiliser la convexité de x->x^2)

[invitecbade190]

Très bien vu avec l'inégalité de Cauchy-Schwartz. ça ne m'est pas venu à l'esprit au début.

[gg0]

Pour un exercice de terminale,

Cauchy-Schwartz plus la convexité, ça commence à faire lourd !!!

Cordialement.

[0577]

Bonjour,

j'aurais plutôt appliqué l'inéglité de Cauchy-Schwartz aux vecteurs (1,1/2,...,1/n) et (1,2,...,n) (et il faut aussi utiliser la convexité de x->x^2)

Très bien vu avec l'inégalité de Cauchy-Schwartz. ça ne m'est pas venu à l'esprit au début.

Cauchy-Schwartz plus la convexité, ça commence à faire lourd !!!

C'est "Cauchy-Schwarz" et non "Cauchy-Schwartz" (Schwarz: https://fr.wikipedia.org/wiki/Hermann_Amandus_Schwarz , Schwartz: https://fr.wikipedia.org/wiki/Lauren...C3%A9maticien)