Démontrer qu'il n'existe aucun entier entre a-1 et a

[inviteddfccc82]

Bonjour,
comme le titre de la discussion l'indique, je dois démontrer, , qu'il n'existe aucun entier tel que .
J'ai tenté de le faire par contradiction en supposant au contraire qu'il en existait 1;
Soit alors E est un sous-ensemble de .

On a donc que
Par l'axiome du bon ordre, admet un plus petit élément que l'on appelera .
Ainsi,
Or, .

Je coince à cette ligne, je ne sais pas non plus si je m'y suis pris correctement pour démarrer ma démarche...
J'ai tenté cette ligne : De même, et ....
Mais là je ne sais vraiment plus où me lancer..

Si quelqu'un pourrait m'aider svp!
Je ne veux pas de réponse bien entendu, mais plutôt une piste pour continuer ma démarche.

Aussi, quelqu'un pourrait me dire pourquoi mes codes LaTeX apparaissent en exposant et si peu attrayant?

Merci beaucoup,
Alexandre
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[Resartus]

A quel niveau d'étude êtes-vous? Car la réponse dépend beaucoup de ce qu'on considère comme connu ou "évident".

Bien que la question soit posée dans le forum lycee, le fait de parler d'axiome de bon ordre indique plutôt un niveau licence ou prépa. Je vais supposer que c'est le cas...

Première question : Est-on dans Z ou dans R?
Tout démarre avec N. Un des axiomes de construction (de Peano) est que deux nombres qui ont le même successeur sont égaux. Cette propriété s'extrapole aisément à Z, en passant éventuellement aux inverses.
Ensuite, comme on a construit Z, puis Q, puis R avec un ordre total et une norme archimédienne, les nombres compris entre a-1 et a ont une distance à a inférieure ou égale à 1 (inégalité triangulaire) et un entier strictement inférieur à un autre entier a a une distance multiple de 1. X est donc à distance 1 de a. Il a comme successeur a, et c'est donc a-1, ce qui était exclu...

[Médiat]

Bonjour,

Axiome du bon ordre dans Z ?

[Resartus]

On peut trouver un bon ordre sur Z (Par exemple, mettre -n entre n et n+1), mais ce ne sera pas très bon (à utiliser...)
..

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteddfccc82]

@Resartus
Merci de la réponse, je suis présentement aux études universitaires en mathématique 1ere année.
Ma réponse doit découler d'une preuve plus concise qu'une simple explication malheureusement
C'est pourquoi j'ai tenté de trouver un bon ordre sur [a-1,a] et arriver à une contradiction.

@Médiat
Oui c'est bien ce que j'ai tenté mais je ne vois pas où je pourrais faire apparaitre ma contradiction...

[inviteddfccc82]

Et pourquoi mettre -n entre n et n+1? il faudrait plutôt mettre un autre entier positif je crois.. mais c'est là où mon raisonnement s'arrête...

[Médiat]

Z ne vérifie pas l'axiome des bons ordres, vous ne pouvez pas l'utiliser !

[Médiat]

, qu'il n'existe aucun entier tel que .

Mal écrit, car il existe deux nombres entiers dans .

Il est important que vous répondiez à la question sous-entendue par Resartus : Quelles sont les choses connues à partir desquelles on peut démarrer une démonstration ?

[Resartus]

Pour être précis, l'axiome du bon ordre dit qu'on peut trouver un bon ordre pour Z (ou d'ailleurs pour Q ou R). Malheureusement le bon ordre en question n'a rien à voir avec celui qu'on aime bien utiliser pour Z, à savoir -10<-1<0<1<2<10... car cet ordre-là n'est pas un bon ordre
(puisque par exemple Z n'y a pas de plus petit élément).
Pour trouver un bon ordre pour Z, la solution qui consiste à intercaler les nombres négatifs entre les nombres positifs, donne la réponse : pour toute partie finie ou infinie de Z, il existe un plus petit élément avec ce classement bizarre. On n'a pas à ce jour pu exhiber de bon ordre pour R, même si on sait que cela existe..

Pour revenir sur votre exercice, il faut comprendre (mais c'est peut-être un peu tôt dans votre cursus) que la norme qu'on utilise par défaut sur N (qui consiste à attribuer une norme de valeur n au nième nombre, ce qui permet de dire que la distance entre deux nombres est un entier), permet de donner l'ordre usuel, qu'on peut étendre à Z, puis à Q et R mais n'est qu'une possibilité. Vous verrez sans doute dans quelque temps des nombres beaucoup plus bizarres qu'on appelle p-adiques, et qui utilisent une autre norme.

De même, l'existence d'un ordre total (pour tout couple de nombres, soit l'un est inférieur à l'autre, soit ils sont égaux) n'est pas toujours garanti sur certaines extensions de N par exemple les entiers de gauss : nombre avec partie réelle et partie imaginaire entières).

Et ces deux propriétés sont nécessaires pour démontrer votre question

[invite9dc7b526]

Sinon, en adoptant un point de vue naïf, c'est facile de montrer que si b est un entier tels que a-1 < b < a, alors b ne peut être ni pair ni impair.

[inviteddfccc82]

Pour répondre à Resartus sur ce que je connais et ce qui satisfait une preuve pour le professeur, la question est précisément: Prouver que, pour tout , il n'existe aucun entier entre a-1 et a.

Je connais l'axiome du bon ordre dans ,
Je connais aussi un lemme qui m'a permis de démontrer le théorème de récurrence: Il n'existe aucun entier entre 0 et 1. Qui, je pensais pouvait me servir mais je ne vois pas vraiment comment,
J'ai les 9 axiomes de l'addition et de la multiplication,
l'inégalité du triangle,
Je ne suis par contre pas particulièrment doué encore avec les preuves par contradictions et je crois que dans ce cas cela pourrait m'être utile...

@Resartus
Nous n'avons malheureusement pas touché la notion de bon ordre dans , c'est simplement moi qui l'avait appliqué sans en connaître les conséquences
Donc je serais bien surpris que les deux propriétés que vous avez énoncées soient celles dont j'ai besoin..

[inviteddfccc82]

Voici ce que j'ai réussi à faire! qu'en pensez vous est-ce que ça se tient?

[Resartus]

La démonstration marche, mais elle utilise la propriété que a relation d'ordre naturelle sur N puis sur Z est compatible avec l'addition :
a<b => a+c<b+c pour tout c

L'avez-vous vue en cours? (ou admise sans démonstration), dans ce cas vous pouvez l'utiliser sans scrupule...

[inviteddfccc82]

Je ne suis pas certain de comprendre ce que vous m'avez écrit...
Je crois comprendre que j'ai utilisé a<b => a+c < b+c pour tout c ?
En effet, nous l'avons démontré en devoir il y a 1-2 semaines sous forme d'une proposition.

[Resartus]

Parfait, dans ce cas votre démonstration est bouclée...
Ne sachant pas où vous en étiez dans la construction de Z comme groupe totalement ordonné , j'ai dû compliquer inutilement en vous proposant de revenir sur des choses déjà acquises.
Par curiosité, si vous n'avez pas du tout parlé des axiomes de Peano, à partir de quoi avez-vous démontré le lemme qu'il n'existe pas d'entier strictement compris entre 0 et 1?

[inviteddfccc82]

Voilà!

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Peut-être avons nous simplement fait la démonstration de ces 5 axiomes par le biais de propositions?
Mais cela est peu probable puisque ce sont des axiomes....