Convexité, ensemble vide

[invitea0b9e65b]

Bonjour,

L'ensemble vide contient t'il l'ensemble vide ?
On dit que tous les ensembles contiennent l'ensemble vide (en tant caillement "caché" et "à ne pas oublié" dans tous les ensembles).
Alors, l'ensemble vide contient-il lui même l'ensemble vide ?

En effet, pour l'assertion de convexité (que je ne saurais pas réécrire sur ce forum dont je ne sais même pas comment faire pour y écrire en LaTeX), il faut prendre deux élément de l'ensemble "à tester" pour déterminer le segment entre ces deux élément, pour enfin dire si oui ou non ce segment est inclu dans l'ensemble ; pour dire si oui ou non l'ensemble est convexe.

Ah bah si ! J'ai trouvé (comment écrire en LaTeX) !

On admettra qu'il est dur de prendre des éléments dans un ensemble qui n'en contient pas (ensemble vide), d'où ma question.

Bien sur je sais que l'ensemble vide est convexe ; ma prof le dit, mon gros bouquin jaune le dit aussi... ; alors pourquoi en douter ? Non je ne cherche pas la réponse, mais l'explication.

Cordialement.

Elève de MP.
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[Médiat]

Bonjour,

L'ensemble vide contient t'il l'ensemble vide ?

Qu'entendez-vous par contient ? Si vous voulez dire que l'ensemble vide est un élément de l'ensemble vide, la réponse est non, puisque l'ensemble vide ... est vide.
Si vous voulez dire que l'ensemble vide est inclus dans l'ensemble vide, la réponse est oui, puisque tous les éléments de l'ensemble vide appartiennent à l'ensemble vide.
Pour la convexité de l'ensemble vide, si vous ne voyez par pourquoi, montrez qu'il ne peut pas ne pas être convexe (il faudrait trouver 2 éléments tels que ...)

[invitea0b9e65b]

Bonjour,Qu'entendez-vous par contient ?

Par "contient" j'entends qui rend vraie l'assertion , donc oui, je parle d'appartenance et non pas d'inclusion.

Pour la convexité de l'ensemble vide, si vous ne voyez par pourquoi, montrez qu'il ne peut pas ne pas être convexe (il faudrait trouver 2 éléments tels que ...)

Il faudrait trouver deux éléments et de tels que .

Sinon j'ai une piste de réflexion :
Je veux montrer que :
,


Donc j'essaie de prouver la contraposée qui est :
,


L'idée de raisonnement est elle juste ?

[Verdurin]

Bonsoir,

est manifestement une proposition fausse.

Donc

est une proposition vraie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea0b9e65b]

Faut il conclure que l'on ne peut pas utiliser l'assertion :

pour déterminer la convexité de ?

[Verdurin]

Faut il conclure que l'on ne peut pas utiliser l'assertion :

pour déterminer la convexité de ?

Pourquoi ne pas l'utiliser comme ceci :

[gg0]

Réponse au message #5 : Si, mais sa forme mathématisée est celle que donne verdurin (avec le "quels que soient" rajouté).

Cordialement.

Rappel : Toute formule concernant "quel que soit un ou des éléments appartenant à l'ensemble vide" est vraie (on ne peut pas trouver de contre exemple).

[invitea0b9e65b]

Ça ne m'aide pas.
Je reformule.
Mon assertion est elle adaptée au test de la convexité de ?
Si oui, comment l'utiliser ?
Si non, laquelle utiliser ?

Merci

Cordialement

[invite14e03d2a]

Souvent, pour se convaincre qu'une proposition est vraie pour , il suffit d'essayer de prouver qu'elle est fausse et on voit tout de suite qu'on tombe dans une impasse:

pour prouver que n'est pas convexe, il faudrait trouver deux points et dans tels que le segment ne soit pas complement contenu dans .

On aura beau chercher, on aura du mal a trouver des elements dans ... par contradiction, est convexe.

[invitea0b9e65b]

Souvent, pour se convaincre qu'une proposition est vraie pour , il suffit d'essayer de prouver qu'elle est fausse et on voit tout de suite qu'on tombe dans une impasse:

pour prouver que n'est pas convexe, il faudrait trouver deux points et dans tels que le segment ne soit pas complement contenu dans .

On aura beau chercher, on aura du mal a trouver des elements dans ... par contradiction, est convexe.

D'accord, j'ai compris, merci.
La c'était clair.

[invite82078308]

Ça ne m'aide pas.
Je reformule.
Mon assertion est elle adaptée au test de la convexité de ?
Si oui, comment l'utiliser ?
Si non, laquelle utiliser ?

Merci

Cordialement

De de ce qui n'existe pas, on peut dire ce qu'on veut.
Une affirmation du type "pour tout x élément de l'ensemble vide, p(x)" sera toujours valide.

[Médiat]

De de ce qui n'existe pas, on peut dire ce qu'on veut.

Et son contraire