Algèbre de Heyting et Logique

[invitecbade190]

Bonjour,

L'algèbre de Heyting se base sur la notion d'adjonction à gauche et à droite.

Définition d'adjonction à gauche et à droite :

Soient et deux préordres. Soient et deux applications.
On dit que est adjointe à gauche de ou que g est adjointe à droite de si :
: .
Cette opération s'appelle adjonction.

Définition d'algèbres de Heyting :

Une algèbre de Heyting est un ordre tel que :
- L'unique application : a une adjointe à gauche et une adjointe à droite.
- L'application diagonale : a une adjointe à gauche notée : et une adjointe à droite notée : .
- : l'application : a une adjointe à droite, notée : .

Voici le passage que je ne comprends pas dans mon cours :

Dans une algèbre de Heyting , la conjonction est distributive sur la disjonction . En effet, l'application : a une adjointe à droite pour tout élément . Il en résulte que cette application commute aux bornes supérieurs, et en particulier que, .

Dans ce passage, je n'arrive pas à comprendre du tout pourquoi : . Pouvez vous me l'expliquer svp ? D'où vient cette formule ?.

Merci d'avance.
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[invitecbade190]

Salut :

Il me semble que j'ai compris l'origine de cette distributivité. En effet :
Le foncteur : a un adjoint à gauche, donc, il préserve les limites inductives, c'est à dire que : , en particulier les ( i.e : ).

Par conséquent :

[invitecbade190]

Salut à tous,

Je ne suis pas assez familier avec l'algèbre de Heyting, néanmoins, j'aimerais savoir de quelle structure il faut munir deux objets et objets d'une catégorie à indiquer, telle que : si est un morphisme de ces deux structures, alors, préserve le et le .

Merci d'avance.

[invitea0db811c]

Bonsoir,

je ne peux malheureusement pas vous aider, ne connaissant pas les objets en question... Mais par contre ils m'intéressent énormément ! En effet dans mes recherches récentes je rencontre des bébètes ayant beaucoup de propriétés qui ressemblent à celles de vos algèbres (étant donné qu'il est question de quotients de treillis, j'imagine que ce n'est pas très surprenant), notamment je finis avec un poset sur les bras qui a de furieux airs de treillis distributif...

Donc si vous avez de la documentation accessible sur ces objets, je serais ravi de pouvoir y jeter un oeil !

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Salut :

Voici où j'apprends ça : http://www.logique.jussieu.fr/~alp/cours_2010.pdf .
Pour bien utiliser ce cours, il est bien conseillé de commencer par la première page jusqu'à la page , et tu stoppes. Tu passes directement au deuxième chapitre : Behaviorisme ( langage des catégories ), d'après le conseil de l'auteur de ce cours. Moi, je suis à la fin de ce chapitre ( Behaviorisme ), et quant je finirai ce chapitre, je passe directement au chapitre : Ensembles. C'est le chapitre qu'il faut le plus lire attentivement, car si tu finis par le retenir, tu peux passer à ce moment là au premier chapitre que tu as sauter à partir de la page 31. Le premier chapitre ( Logique ) est vraiment très vague, il faut lire le chapitre : Ensembles, pour finir par l'assimiler et le comprendre.
Ce cours est super passionnant. Je ne vais pas te dire plus que ça jusqu'à ce que tu aies contact avec lui. Moi, déjà je maîtrise quelques prérequis avec le langage des catégories, c'est pour cela, je n'ai trouvé aucune difficulté à comprendre le chapitre : Behaviorisme. Ce qui peut ne pas être ton cas. J'ai mis 4 jours pour presque finir ce chapitre. Il me reste 8 page pour le finir.

Cordialement.

[invitecbade190]

Bonsoir à tous,

Connaissez vous un exemple d'ensemble ou partie d'un ensemble qui n'a pas de complémentaire ?
Est ce qu'il existe un objet mathématique qui n'existe pas ou qui n'existe dans aucun ensemble ou objet d'une catégorie ?



Merci d'avance.

[invitecbade190]

Bonjour,

Mon dernier message n'a pas été très sérieux. Mettons un peu de sérieux dans notre discussion :
En surfant sur le net, j'ai remarqué qu'on peut avoir deux écritures équivalentes : ( Je m'explique )
Soit un schéma et son faisceau structural.
Soit et soit la fibre de en .
Alors, d'un coté, on a :

et de l'autre coté, on a :

Ma question est de savoir si on peut écrire :

Si c'est le cas, de quel adjonction il s'agit exactement ?
Et est ce que cela était prévisible de point de vue de la catégorie des schémas ?

Merci d'avance.