Démonstration par récurrence d'une dérivée n+1

[invite009a1a5a]

Voilà mon chargé de TD de maths donne des démonstrations à faire à tout le monde chaque semaine et moi je suis tombé sur LA démonstration, je n'y comprend rien.. La voici :

Soit n appartenant à N (entier naturel). On note f_n : R*+ qui associe R La fonction définie pour tout réel x>0 par :
f_n(x)= xⁿe^(1/x)
Montrer par récurrence que pour tout x appartenant à R*+ on a f_n⁽ⁿ⁺¹⁾(x)= [(-1)ⁿ⁺¹/xⁿ⁺²]*e^(1/x)

Ce n'est pas forcément noté, ce n'est qu'un bonus de 2 points si je désire lui rendre... Mais se serait surtout pour la comprendre car je tourne en rond et je ne trouve aucune issue. Merci d'avance
-----

[Resartus]

Le principe est déjà de calculer la dérivée première de Fn (dérivée d'un produit) pour tout n y compris les valeurs négatives, et d'exprimer cela en fonction de Fn-1 et Fn-2
Ensuite, il y a des simplifications qui vont se produire dans la récurrence

[invite009a1a5a]

Oui mais justement je sais pas exprimer une dérivée nième d'où le fait que je bloque totalement

[Médiat]

Bonjour,

En remarquant que f_n+1(x)=xf_n(x), il suffit de mettre en place une récurrence pour calculer f_n+1^(k)(x) en fonction des dérivées de f_n(x).

[A voir en vidéo sur Futura]