Résolution de l'équation x²=x dans z/nz

[invite31be76b7]

Salut ,
j'aimerais bien si quelqu'un puisse me donner une réponse sur la question suivante :
" soit n dans N tq n>=2
Soit p appartenant à{ 1,2,....,n} tq p soit solution de l'équation x²=x dans Z/nZ .
On pose a=PGCD (p,n) et b= PGCD ((p-1),n) .
Montrons que n=ab "
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[Médiat]

Bonjour,

Que pouvez-vous dire de p(p-1) ?

[invite31be76b7]

Je pense que n divise p(p-1)

[invite31be76b7]

Et aussi que ab divise p(p-1)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite31be76b7]

Et p et p-1 sont premiers entre eux , mais après je ne sais pas comment continuer

[invite31be76b7]

On peut dire aussi que p(p-1) est pair mais je ne vois pas comment utiliser cette propriété

[invite31be76b7]

On a p appartenant à Z/NZ donc p²=p donc cl(p)²-cl(p)=cl(n)

[invite0834a59d]

On peut écrire p=aq et n=am avec pgcd(m,q)=1
On a alors m = m(p-(p-1)) = m(aq-(p-1)) = maq - m(p-1) = qn -m(p-1)
et comme pgcd(m,q)=1, ceci prouve que pgcd(n,p-1)=m c'est-à-dire m=b et donc n=ab.