Bonjour,
(j'avais mis ce post dans la rubrique "math du secondaire", mais cela reève plus du supérieur)
Je m'intéresse à un arc en pierre 'idéal', et qui a donc la forme d'une chainette afin qu'il ne subisse aucune torsion.
Dans le calcul d'une chaînette simple, on fait certes l'hypothèse que la chaine a un poids, mais on ne cherche pas à augmenter la section de la chaine afin qu'elle puisse résister à la traction (ou à la compression, selon le sens dans lequel on met cette chainette / tete en haut ou tete en bas).
J'aimerais donc avoir votre avis et votre aide pour faire certains calculs (seule la partie B me pose probleme, la partie A ne sert qu'à se rappeler le calcul classique d'une chainette) :
Partie A :
Dans le cas d'un arc "simple" pour lequel on néglige le risque d'écrasement de l'arc près de la base, on tombe sur les équations de la chainette du style :
y'' = - w0/Tx0 √(1 + y'²) (w0 = rho * S0 * g avec rho = masse volumique de la pierre, g = 9,81, S0 = la section de l'arc en m²)
un premier changement de variable u = y' nous donne :
u’ = - w0/Tx0 √(1 + u²)
puis un autre changement de variable u = sinh(v) permet de retrouver les formules :
y' = sinh(-x/a) avec a = w0 / T0 (T0 étant la tension horizontale en Newton)
y = - a ( cosh(-x/a) - 1 )
Partie B (la seule qui me pose probleme) :
Si j'indique que la section S0 de mon arc doit maintenant augmenter pour prendre en charge l'augmentation du poids de l'arc, je dis que :
S = S0 + T / k avec k représentant un coefficient d'écrasement en N/m² (la section doit faire en sorte qu'on ne risque pas que la tension T écrase et effrite l'arc)
Je tombe alors sur une équation qui ressemble à la première, mais avec un terme en plus :
y'' = - w0/Tx0 √(1 + y'²) - w0 /(k S0) * ( 1 + y'²) d'où un changement de variable y' = u)
u’ = - w0/Tx0 √(1 + u²) - w0 /(k S0) * ( 1 + u²) (puis un 2nd changement u = cosh(v)
v' * cosh(v) = - w0/Tx0 cosh(v) - w0 /(k S0) * cosh²(v) (et on simplifie)
v' = - w0/Tx0 - w0 /(k S0) * cosh(v)
et là, j'ai l'impression qu'on devrait pouvoir trouver une solution, mais je n'y arrive pas... je me fais des noeuds, car ce n'est pas une expression du type : y' = Cste1 + Cste2 cosh(x) (facile), mais c'est du style : v' = Cste1 + Cste2 cosh(v) avec v =une fonction de x = v(x) et v' = dv/dx
Merci à l'avance pour votre aide...
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