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Densité dans R



  1. #1
    Aminebe7

    Densité dans R

    Bonjour.

    Je dois montrer que l'ensemble { p/2^n, (p,n) € IN² } est dense dans IR.

    Donc je dois montrer que pour tous x, y € IR+ tels que x<y, il existe (p,n)€IN² tels que x < p/2^n < y.

    Je l'ai fais par récurrence
    On Supp que x < p/2^n < y. et on montre qu'il est valable pour x < p/2^(n+1) < y. = x < p/(2^n x 2) < y
    On a x < p/2^n < y = x/2 < p/(2^n x 2) < y/2 = x' < p/2^(n+1) < y' et voila par récurrence on a montré que x' < p/2^(n+1) < y' tel que x'=x/2 et y'=y/2
    donc x < p/2^n < y.

    c'est juste?

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    Médiat

    Re : Densité dans R

    Bonjour,

    Relisez votre ligne 2, elle est de la forme , or la récurrence s'applique à des formules du genre Donc la récurrence ne s'applique pas (d'ailleurs vous ne parlez pas de l'initialisation, normal, elle ne marche pas(si jamais elle veut dire quelque chose)).

    Ce que vous avez démontré c'est que si il existe un nombre dyadique entre x et y alors il en existe un entre x/2 et y/2

    D'autre part il y a une erreur dans votre énoncé, il faut que , sinon cela ne marche pas.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    Resartus

    Re : Densité dans R

    Je vous suggère d'étudier l'écart entre les nombres x*2^n et y*2^n quand n augmente...
    Le reste de la démonstration ne devrait pas être trop difficile

  5. #4
    pm42

    Re : Densité dans R

    Citation Envoyé par Resartus Voir le message
    Je vous suggère d'étudier l'écart entre les nombres x*2^n et y*2^n quand n augmente...
    Le reste de la démonstration ne devrait pas être trop difficile
    J'ai du mal à voir comment cela permet de conclure, je serais intéressé par des précisions.
    Sinon, une démonstration assez simple est de commencer par montrer que les p/10^n sont denses en utilisant le développement décimal. On prend x et y on "insère" un p/10^n entre les 2 chiffres qui différent dans leur écriture.
    Ensuite, pour le 2^n, c'est la même chose avec le développement en base 2 plutôt qu'en base 10.

  6. #5
    Resartus

    Re : Densité dans R

    Pour PM42 : l'écart entre les deux nombres est croissant et tend vers l'infini avec n , dès que y est différent de x. Alors il existe un n où cet écart dépasse 1. Il y a alors un entier p dans l'intervalle...

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    pm42

    Re : Densité dans R

    Citation Envoyé par Resartus Voir le message
    Pour PM42 : l'écart entre les deux nombres est croissant et tend vers l'infini avec n , dès que y est différent de x. Alors il existe un n où cet écart dépasse 1. Il y a alors un entier p dans l'intervalle...
    Ok, très élégant. Merci.

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