Equa diff et conditions aux limites

[invite0b5bb75e]

Bonjour,

J'essaye de re-comprendre proprement les équa diff, et je suis bloqué rapidement par une question générale:
je cherche bien et je lis qu'une solution d'une équation différentielle x′=f(t,x), f étant définie sur I×ω avec I et ω ouverts, est un couple (J,y) avec y définie sur J, et J intervalle ouvert (cf. Pommelet, Demailly) ou pas! (cf. https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...C3%A9rentielle entre autres).
- Qu'en est-il donc de J?
- Si "tout" est donc ouvert, je ne comprends finalement pas comment on va arriver à résoudre les problèmes physiques qui sont souvent sur un compact, je pense à la corde vibrante sur [0, L] avec des conditions aux limites de type y(0)=y(L)=0 par exemple... en fait quand je feuillete Demailly, Pommelet, je ne vois pas comment ces conditions aux limites interviennent: je crois qu'ils n'abordent pas cela! Apparemment ça s'appelle problème de Dirichlet, c'est vraiment hors de la théorie "classique"? étonnant car la corde vibrante, c'est vraiment très simple.

Merci de votre éclairage.
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[Resartus]

La corde vibrante n'est pas un problème si facile que cela (il est non linéaire, et peut présenter des bifurcations, voire des réponses chaotiques : cf par exemple les ondes solitons).
Par contre, le domaine de définition de l'équation n'est pas celui des conditions aux limites. Rien n'interdit de supposer une corde infinie des deux cotés, avec simplement des conditions aux limites en 0 et L.
Quand à l'exigence que le domaine de définition soit un ouvert, je suppose que c'est pour éliminer des cas où la dérivée serait non définie ou non continue sur la frontière, mais perso je ne souviens pas de cas en physique où cela aurait pu poser un problème. Mais peut-être d'autres personnes auront des contre exemples