Arithmétique pour Sylow

[Keres0]

Bonjour,

Pour démontrer le premier théorème de Sylow (mais en fait, cela n'importe peu), on considère un groupe à éléments, p nombre entier ne divisant pas m et on considère l'ensemble X de ses parties à éléments et on veut montrer que p ne divise pas le cardinal de X.

On écrit:



et là ma doc indique: "comme (ça OK), alors il y a autant d'exemplaires au numérateur et au dénominateur du nombre premier p, donc p ne divise pas ".

Je n'arrive vraiment pas à comprendre cette conclusion.
Merci d'avance.
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[Resartus]

Je pense qu'il faut lire plutôt l (L) que 1 dans la formule de votre livre : m.p^k-L = (p^k-L)[p^j]
Cela veut dire que pour chaque valeur de L qui donne une puissance quelconque de p en bas, la même valeur de L donne la même puissance en haut. Cela simplifie tous les p^j qui peuvent apparaitre terme à terme

[Keres0]

Merci, oui désolé, il faut lire que pour tout :


Je ne suis pas trop sûr de comprendre... notamment pourquoi on a besoin de faire courir l'indice j, et pourquoi le fait qu'il s'arrête à k ne pose pas problème.

Bref, comment écrire mathématiquement cette phrase "il y a autant d'exemplaires au numérateur et au dénominateur du nombre premier p"?

[Resartus]

Pour chacun des termes (p^k^-i), il existe un j le plus grand possible (ce sera souvent 0), tel que p^j le divise, mais pas p^(j+1).

La formule démontre que ce sera la même valeur de j pour M.p^k-i, puisque si p^k-i n'est pas divisible par p^(j+1) (reste différent de zero), alors M.p^k-i non plus (même reste).

Et inutile d'aller au delà de j=k puisque les nombres inférieurs ou égaux à p^k ne peuvent pas être divisibles par p^(k+1)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Keres0]

Merci.

OK, ce qui me pose problème, c'est si un p^j divise m.p^k-i avec j>k (il ne divisera certes pas p^k-i, on est d'accord). Je suis un peu aveugle sur ce coup là, désolé.

[Resartus]

OK. Imaginez qu'il existe i tq m.p^k-i=ap^(k+1) alors i= (m-ap)* p^k. Or i est inférieur à p^K
(n'est-ce pas à peu près comme cela que vous avez déjà démontré la formule?)

[invite02232301]

Annulé, n'importe quoi!

[Keres0]

et donc 0<=m-ap<1 donc p|m, ce qui est exclus. J'ai compris, ouf!

merci beaucoup de votre aide (ça ne me paraît pas si trivial que ce que le bouquin suppose, surtout ce dernier cas en fait).

NB/ dans ma congruence sur les j, il faut donc rajouter j=0