Preuve Supremum et Infimum

[invite630b3896]

Bonjour je n'arrive pas à prouver ceci qui est dans ma série d'exercice

Soit A ̸= ∅, un sous-ensemble borné de R. Posons B = {x ∈ R : −x ∈ A}. Montrer que SupA = −Inf B

J'ai déjà réussi à prouver que M est un majorant de A, alors −M est un minorant de B mais pour la suite...
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[gg0]

Ben ... il te suffit de montrer que -inf(B) est le plus petit des majorants. C'est presque immédiat. Si ce n'est pas le plus petit, alors ...

Bon travail !

[invite630b3896]

merci, mais je vois pas comment faire

[gg0]

Ben ... je te l'ai dit !

Tu ne crois quand même pas qu'on va travailler pour toi quand tu ne proposes rien toi-même ! Allez, fais ton travail !

NB : Il s'agit d'utiliser des règles de manipulation d'inégalités qu'on voit en collège-lycée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite630b3896]

J'avais déjà essayé quelque chose mais je sais pas si c'est la bonne piste:

b étant le sup(A), il existe un élément Xε tel que b - Xε =< ε (pour tout ε > o)

on suppose donc que b = -inf(B) donc -b = inf(B), inf B est donc défini par: il existe un élément Xε tel que Xε - (-b) =< ε

donc Xε + b =< ε. Est ce que je pars juste? car à partir de là je me retrouve un peu bloqué