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Supremum, norme d'une matrice




  1. #1
    Lévesque

    Supremum, norme d'une matrice

    Bonjour,

    Voilà ma question du jour. Il faut vraiment que je clarifie tout ça...Disons que je cherche la norme de la matrice



    où la norme est définie comme



    la norme de la colonne i étant définie je sais pas trop comment. Dans le calcul, je devrais (si j'ai bien compris, ce qui n'est absolument pas garantit) en venir à calculer

    ,

    Et conclure que ce sup est égal à 2 ()

    Disons, en tournant le problème de tous les côté, si je trace mes deux fonctions dans le sup, celles-ci se coupe à , ou à . Mais, sinon, je ne vois pas d'autres liens avec le chiffre 2.

    Si quelqu'un a envie de m'aider, je lui offre... tout mon respect!

    Cordialement,

    Simon

    PS: c'est pas un devoir que j'ai à faire. Je me tape du Kato et j'ai les bases un peu fragile disons...

    -----

    Dernière modification par Lévesque ; 21/02/2006 à 15h02. Motif: plein de motifs

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  3. #2
    martini_bird

    Re : Supremum, norme d'une matrice

    Salut,

    Citation Envoyé par Lévesque
    la norme de la colonne i étant définie je sais pas trop comment.
    Ca peut être la norme euclidienne, la norme du sup (le sup des valeurs absolues des éléments de la colonne) ou d'autres normes: dans ton cas ça ne change rien à cause des zéros.

    Citation Envoyé par Lévesque
    Dans le calcul, je devrais (si j'ai bien compris, ce qui n'est absolument pas garantit) en venir à calculer
    ,
    Je suppose que ton est positif mais ce ne serait pas plutôt ?

    Et tu as un autre contrôle sur ? (genre )

    Cordialement.

    PS: joyeux anniversaire!
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  4. #3
    matthias

    Re : Supremum, norme d'une matrice

    Il y a quand même un truc bizarre. Si c'est bien la norme de la matrice que l'on cherche, elle devrait dépendre de delta, voire de phi.


  5. #4
    Lévesque

    Re : Supremum, norme d'une matrice

    Citation Envoyé par martini_bird
    Je suppose que ton est positif mais ce ne serait pas plutôt ?
    Oui, c'est possible, même assez logique.

    Et tu as un autre contrôle sur ? (genre )
    Oui. Delta est le rayon de mon cercle, parcours d'intégration, dans l'espace résolvant. J'ai une valeur propre à 1 et à deux. Comme j'intègre autour du pole 1, et que je ne souhaite éviter d'inclure le pole deux, il faut que delta soit plus petite que 1, et évidemment plus grand que zéro (c'est le rayon de mon cercle).

    Merci infiniment mb, t'es toujours au bon endroit au bon moment on dirait!
    PS: joyeux anniversaire!
    merci!

    edit: croisement avec matthias

  6. #5
    martini_bird

    Re : Supremum, norme d'une matrice

    C'est un peu flou :
    - est le cercle de centre l'origine de rayon
    - est le cercle de centre 1 de rayon

    La valeur correspond au cas où ces deux cercles sont tangents et alors ||M||=2.

    Il doit y a une condition supplémentaire sur sinon comme le dit matthias, le sup dépend de .

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Lévesque

    Re : Supremum, norme d'une matrice

    Ok...

    Je fais un développement en série de puissance de . La norme de la matrice va entrer dans le coefficient(n) de cette série. Si je coupe ma série au terme n, je veux que mon reste soit borné. Il faut donc (disons, je sais pas si c'est intuitif pour vous, mais on l'a montré dans le cours) que la norme du reste respecte
    (1),

    où C est une constante et est l'inverse du rayon de convergence. Dans notre probleme, on substituerait dans (1) et .

    Je me souviens que mon prof ait dit quelque chose du genre: "on cherche un delta qui nous permette d'avoir le plus grand epsilon possible."
    Ça peut être ça la condition? Et, vite comme ça, quelqu'un voit pourquoi on veut prendre le plus grand epsilon possible?

    Merci encore,

    Simon
    PS:

  9. #7
    Lévesque

    Re : Supremum, norme d'une matrice

    Pour être plus précis, dans mes notes, j'ai

    ,



    et


    Je devrais trouver que la norme de chaque matrice est plus petite ou égale à 2...

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  11. #8
    martini_bird

    Re : Supremum, norme d'une matrice

    (1) signifie que z doit être dans le disque centré à l'origine de rayon .
    Or z est sur le centré en 1 de rayon .

    Comme pour obtenir le plus grand epsilon possible il faut que soit le plus petit possible, il suffit de faire un petit dessin et on retrouve que les conditions sont réalisées lorsque le disque et le cercle sont tangents, soit pour .

    On peut bien sûr montrer tout ça de façon analytique.

    Bien à toi.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  12. #9
    Lévesque

    Re : Supremum, norme d'une matrice

    Citation Envoyé par martini_bird
    Comme pour obtenir le plus grand epsilon possible il faut que soit le plus petit possible, il suffit de faire un petit dessin et on retrouve que les conditions sont réalisées lorsque le disque et le cercle sont tangents, soit pour .
    C'est exactement ce que mes notes disent... Mais, suis-je normal si ce n'est pas très intuitif chez moi?

    si on a seulement quelque chose du genre



    Et que je dis: "si z est trop proche de 1, alors est grand, si z est trop proche de 2, est grand, un compromis entre les deux maximise : .

    Vous pouvez m'expliquer le passage: "un compromis entre les deux maximise"?

    Merci encore!

  13. #10
    Lévesque

    Re : Supremum, norme d'une matrice

    Encore moi...

    Disons, si je cherche max{a,b}, le résultat c'est soit a, soit b!?

    Si a=a(x) et b=b(x),

    max{a(x),b(x): x élément des réels},

    ça veut dire quoi? Finalement, je crois que c'est seulement ça que je comprends pas.

  14. #11
    martini_bird

    Re : Supremum, norme d'une matrice

    Salut,

    de ce que j'ai compris, tu cherches d'abord la plus grande valeur de .

    Ensuite seulement tu calcules

    Sinon en effet est une fonction qui dépend de x et de la même façon dépend de .

    J'espère que ça t'aide un peu.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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