Supremum, norme d'une matrice

[Lévesque]

Bonjour,

Voilà ma question du jour. Il faut vraiment que je clarifie tout ça...Disons que je cherche la norme de la matrice



où la norme est définie comme



la norme de la colonne i étant définie je sais pas trop comment. Dans le calcul, je devrais (si j'ai bien compris, ce qui n'est absolument pas garantit) en venir à calculer

,

Et conclure que ce sup est égal à 2 ()

Disons, en tournant le problème de tous les côté, si je trace mes deux fonctions dans le sup, celles-ci se coupe à , ou à . Mais, sinon, je ne vois pas d'autres liens avec le chiffre 2.

Si quelqu'un a envie de m'aider, je lui offre... tout mon respect!

Cordialement,

Simon

PS: c'est pas un devoir que j'ai à faire. Je me tape du Kato et j'ai les bases un peu fragile disons...
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[martini_bird]

Salut,

la norme de la colonne i étant définie je sais pas trop comment.

Ca peut être la norme euclidienne, la norme du sup (le sup des valeurs absolues des éléments de la colonne) ou d'autres normes: dans ton cas ça ne change rien à cause des zéros.

Dans le calcul, je devrais (si j'ai bien compris, ce qui n'est absolument pas garantit) en venir à calculer
,

Je suppose que ton est positif mais ce ne serait pas plutôt ?

Et tu as un autre contrôle sur ? (genre )

Cordialement.

PS: joyeux anniversaire!

[matthias]

Il y a quand même un truc bizarre. Si c'est bien la norme de la matrice que l'on cherche, elle devrait dépendre de delta, voire de phi.

[Lévesque]

Je suppose que ton est positif mais ce ne serait pas plutôt ?

Oui, c'est possible, même assez logique.

Et tu as un autre contrôle sur ? (genre )

Oui. Delta est le rayon de mon cercle, parcours d'intégration, dans l'espace résolvant. J'ai une valeur propre à 1 et à deux. Comme j'intègre autour du pole 1, et que je ne souhaite éviter d'inclure le pole deux, il faut que delta soit plus petite que 1, et évidemment plus grand que zéro (c'est le rayon de mon cercle).

Merci infiniment mb, t'es toujours au bon endroit au bon moment on dirait!

PS: joyeux anniversaire!

merci!

edit: croisement avec matthias

[A voir en vidéo sur Futura]

[martini_bird]

C'est un peu flou :
- est le cercle de centre l'origine de rayon
- est le cercle de centre 1 de rayon

La valeur correspond au cas où ces deux cercles sont tangents et alors ||M||=2.

Il doit y a une condition supplémentaire sur sinon comme le dit matthias, le sup dépend de .

Cordialement.

[Lévesque]

Ok...

Je fais un développement en série de puissance de . La norme de la matrice va entrer dans le coefficient(n) de cette série. Si je coupe ma série au terme n, je veux que mon reste soit borné. Il faut donc (disons, je sais pas si c'est intuitif pour vous, mais on l'a montré dans le cours) que la norme du reste respecte
(1),

où C est une constante et est l'inverse du rayon de convergence. Dans notre probleme, on substituerait dans (1) et .

Je me souviens que mon prof ait dit quelque chose du genre: "on cherche un delta qui nous permette d'avoir le plus grand epsilon possible."
Ça peut être ça la condition? Et, vite comme ça, quelqu'un voit pourquoi on veut prendre le plus grand epsilon possible?

Merci encore,

Simon
PS:

[Lévesque]

Pour être plus précis, dans mes notes, j'ai

,

où

et


Je devrais trouver que la norme de chaque matrice est plus petite ou égale à 2...

[martini_bird]

(1) signifie que z doit être dans le disque centré à l'origine de rayon .
Or z est sur le centré en 1 de rayon .

Comme pour obtenir le plus grand epsilon possible il faut que soit le plus petit possible, il suffit de faire un petit dessin et on retrouve que les conditions sont réalisées lorsque le disque et le cercle sont tangents, soit pour .

On peut bien sûr montrer tout ça de façon analytique.

Bien à toi.

[Lévesque]

Comme pour obtenir le plus grand epsilon possible il faut que soit le plus petit possible, il suffit de faire un petit dessin et on retrouve que les conditions sont réalisées lorsque le disque et le cercle sont tangents, soit pour .

C'est exactement ce que mes notes disent... Mais, suis-je normal si ce n'est pas très intuitif chez moi?

si on a seulement quelque chose du genre



Et que je dis: "si z est trop proche de 1, alors est grand, si z est trop proche de 2, est grand, un compromis entre les deux maximise : .

Vous pouvez m'expliquer le passage: "un compromis entre les deux maximise"?

Merci encore!

[Lévesque]

Encore moi...

Disons, si je cherche max{a,b}, le résultat c'est soit a, soit b!?

Si a=a(x) et b=b(x),

max{a(x),b(x): x élément des réels},

ça veut dire quoi? Finalement, je crois que c'est seulement ça que je comprends pas.

[martini_bird]

Salut,

de ce que j'ai compris, tu cherches d'abord la plus grande valeur de .

Ensuite seulement tu calcules

Sinon en effet est une fonction qui dépend de x et de la même façon dépend de .

J'espère que ça t'aide un peu.

Cordialement.