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Inférence sur échantillon



  1. #1
    tristan86

    Inférence sur échantillon


    ------

    Bonjour à tous,
    Je n'arrive absolument pas à résoudre cet exercice dont l'énoncé est pourtant simple. Je pense que quelque chose m'échappe d'un point de vue logique...

    Dans une population, la proportion d'individus présentant un caractère spécifique est de 75%. Quelle est la probabilité d'avoir plus de 115 individus présentant ce caractère dans un échantillon de 150 personnes issu de la population ?
    Merci à vous ^^

    -----

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  3. #2
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : inférence sur échantillon

    Bonjour.

    Tu as par exemple 1000 personnes, dont 750 ont le caractère A. Tu en prends au hasard 150. Combien ont le caractère A ? A priori, on n'en sait rien, puisqu'on a pris au hasard. Le nombre peut varier de 0 (on n'a pris que des individus dans les 250) à 150 (on les a tous pris dans les A). Ces deux situations étant assez improbables, on s'attend à en avoir assez souvent près des 3/4. Mais la question de probabilités de ton énoncé est bien posée clairement : Tu as une certaine probabilité à calculer.

    Comme la taille de la population est non définie, on peut supposer qu'elle est extrêmement grande, donc que pour chaque individu de l'échantillon, la probabilité d'être un A est 0,75.

    Bon travail !

  4. #3
    tristan86

    Re : inférence sur échantillon

    Merci de cette réponse.

    J'avais compris la notion d'échantillonnage.

    A ce propos, sur les 150 personnes tirées de la population, si l'on appliquait les 75%, on devrait s'attendre à trouver 112,5 personnes avec le caractère A.

    Or, on cherche la probabilité d'en avoir au moins 115...

    Je pensais qu'on devrait utiliser, pour résoudre ce problème, une loi normale avec une proportion p = 0,75 !

    Bref, pas si simple...

  5. #4
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : inférence sur échantillon

    Pourquoi une loi Normale ? Et que veut dire, pour une loi Normale "avec une proportion p = 0,75" ? il n'y a pas de proportion, pour une loi Normale.

    Bon, sérieusement (*), je t'ai presque tout dit, tu peux facilement trouver la loi de la variable aléatoire "nombre de A dans l'échantillon" et finir.

    Bon travail !

    (*) il ne s'agit pas de deviner ce qu'on doit faire, mais de le déduire intelligemment des données.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    tristan86

    Re : inférence sur échantillon

    Une proportion (propre de la variable qualitative binaire "être A" ou "ne pas être A") suggère une loi binomiale. Dans les faits, oui, chaque individu des 150 peut être ou non de caractère A.
    Je me vois juste mal faire une somme de 35 produits avec des puissances 150 et des coefficients binomiaux juste immondes...
    Je cherche quelque chose de plus simple ou une approximation : d'où mon propos sur la loi normale qui approxime la loi binomiale (conditions réunies)
    Merci

  8. #6
    tristan86

    Re : inférence sur échantillon

    J'appelle X la variable "nombre d'individus ayant le caractère A dans l'échantillon"

    X suit une loi binomiale B(150;0,75)

    Je cherche p(X > 115) donc p(X = 115) + p(X = 116) + ... + p(X = 149) + p(X = 150)
    Avec pour chaque probabilité :
    p(X = k) = (k parmi 150) * 0,75^k * (1-0,75)^(150-k)

    Calcul fait cela donne 0,3581 soit 36%... mais cette valeur ne figure pas parmi les propositions proposées... donc je m'épuise !

  9. Publicité
  10. #7
    Resartus

    Re : Inférence sur échantillon

    Ne faut-il pas comprendre strictement supérieur à 115? et dans ce cas le chiffre est plus faible : 0,2895
    Dernière modification par Resartus ; 05/10/2015 à 21h11.

  11. #8
    tristan86

    Re : Inférence sur échantillon

    Vive Excel !

    Oui j'ai essayé cette alternative aussi...

    Il s'agit d'un QCM
    Les propositions sont :

    A) 25,5%
    B) 45,2%
    C) 54,8%
    D) 74,5%
    E) 89,6%

    Donc ni 36% ni 29%

  12. #9
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Inférence sur échantillon

    Même avec une approximation binomiale on tombe aux alentours de 32%
    Donc c'est un QCM faux !

    A l'époque où j'aidais ma nièce en première année de pharmacie, c'était fréquent !!

    Cordialement.

  13. #10
    tristan86

    Re : Inférence sur échantillon

    Merci @gg0 !

    En effet, avec une approximation par la loi Normale on a :
    m = 0,75*150 = 112,5
    s = sqrt[0,75*(1-0,75)*150] = 5,30

    p(X > 115) = p(Z > (115-112,5)/5,30) = p(Z > 0,4714) = 1 - p(Z < 0,4714) = 1 - 0,6808 = 0,3192
    soit les 32% que tu annonces

    Donc OUI, QCM complètement faux... une fois de plus ! #Merci les profs !
    On a toujours du mal à s'en convaincre seul...

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