Application linéaire

[ninoux]

Bonjour,
Je suis actuellement salarié, 36 ans et j'ai décidé de reprendre une formation diplômant. J'ai donc commencé des cours de maths, et j'ai attaqué les applications linéaires. Mes questions vont surement vous sembler bêtes, mais j'ai besoin de votre aide.
Comment démontrer qu'une application est linéaire. Je connais les 2 conditions, mais je n'arrive pas à les appliquer :
f (x+y) = f(x) + f(y)
et f(λx) = λ f(x). Jusque là tout va bien. C'est le démontrer sur des exemples qui est compliqué.
Pourriez vous prendre un peu de temps pour m'expliquer les exemples ci-dessous :
Merci d'avance pour votre aide.

1/ Montrer que IR ---> IR
f : x ---> ax est linéaire.

**************************
2/ Montrer que IR ---> IR
f : x ---> x² est non linéaire

**************************
3/ Montrer que IR² ---> IR
(x1,x2) ---> ax1 + bx2 est linéaire

**************************
4/Montrer que IR² ---> IR
(x1,x2) ---> x1+x2 est non linéaire.

**************************
5/f4 : R² ---> R4
f4(x,y) = (y,0,x-7y,x+y)

J'espère ne pas abuser et que vous pourrez m'aider sur ces sujets.

Salutations.
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[Médiat]

Bonjour,

Pour vous donner un exemple :
2) ; vous devez démontrer (entre autres) : , c'est à dire ; trouver un contrexemple (c'est à dire une valeur de et une valeur de ) ne devrait pas être trop compliqué.

PS : Etes-vous sûr de l'énoncé du cas 4) ?

[gg0]

Bonjour Ninoux.

Pour montrer qu'une application linéaire, on montre chacune des propriétés. Par exemple, pour la première, on écrit f(x+y) avec la définition de f, puis on essaie de retrouver f(x)+f(y). Si ce n'est pas évident, on exprime f(x)+f(y) avec la définition de f. Même chose pour la deuxième propriété.
Pour 1,3 et 5, ça vient immédiatement.

Cordialement.

NB : la fonction du 4 est un cas particulier de celle du 3. Ne serait-ce pas x1*x2 ?

[ninoux]

merci pour votre retour rapide. Concernant l'énoncé du 4, je suis sur d'avoir noté correctement, mais une erreur est possible.
Je comprends votre exemple. Le problème que je rencontre, c'est lors de l'application sur les exercices.

1/ Montrer que IR ---> IR
f : x ---> ax est linéaire.

voici la correction :
f(x+y) = a(x+y) = ax + ay = f(x) + f(y)
f(λx) = a(λx) = λf(x) donc f est linéaire.

Ce que je ne comprends pas, c'est le principe. pour tous les exercices, doit on ajouter une deuxième inconnue? Doit on sommer les vecteurs?
Je suis désolé encore une fois si mes questions sont stupides, mais j'ai quitté l'école depuis 14 ans, et je n'ai pas fais de maths depuis.

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Pour chaque exercice, on fait en fonction de l'énoncé. Quand tu vas quelque part, tu ne pars pas d'un "principe" (tourner à droite une fois sur 2, ...), tu fais en fonction de ton but et des circonstances. C'est la même chose ici, on veut prouver que la définition est vraie (ou fausse), et on le fait.

Dans ta correction, il y a une succession de quasi-évidences. C'est tout !

[Médiat]

Ce que je ne comprends pas, c'est le principe.

Le principe, dit avec des termes moins formel que les définitions données au message # 1, c'est :
L'image d'une somme de vecteurs (x et y) est la somme des images de ces vecteurs
L'image du produit d'un vecteur (x) par un scalaire (λ) est le produit de l'image du vecteur par le scalaire.

[ninoux]

Merci beaucoup pour votre aide sur ce sujet.

Salutations.

[azizovsky]

Bonjour, le principe pour tu 'as

si tu pose et tu remplace dans



pour le deuxième cas, tu pose

tu remplace