Y a-t-il des méthodes simples pour voir si une matrice est diagonalisable ?

[Perfectina]

Bonjour,

Je suis capable de trouver les racines du polynôme caractéristique, donc les valeurs propres, puis les vecteurs propres (ou sous-espaces propres).
Je sais également qu'une matrice nxn est diagonalisable si elle possède n vecteurs propres formant une base, ou si elle a toutes ses valeurs propres distinctes.

Cependant, j'aimerais savoir s'il existe des méthodes plus rapides pour voir si une matrice est diagonalisable. Parfois en exercice, on a plusieurs matrices et on doit dire si elles sont diagonalisables et si oui, les diagonaliser. En examen on a pas forcément le temps de calculer à chaque fois valeurs propres et vecteurs propres pour les matrices qui au final ne le sont pas.

Donc ma question est : existe-t-il une méthode rapide pour visualiser si la matrice est diagonalisable ?

Merci !
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[Deedee81]

Salut,

EDIT ah, non, j'ai dit une bêtise, désolé. Je pensais "inversible". Pffffff Bon, on va laisser les mathématiciens nous aider

Ca dépend de leur taille (pour la facilité), mais elle est diagonalisable si et seulement si sont déterminant est non nul.
Et pour des tailles pas trop grande, ça se calcule assez facilement à la main.

Les mathématiciens du forum nous donnerons peut-être un critère et/ou un algorithme plus rapide

[invite02232301]

Qu'est que tu entend pas methode? Des conditions suffisantes rapides à examnier? Ou necessaire et suffisantes?

[Resartus]

Il n'est pas nécessaire de trouver les valeurs propres pour savoir si elles sont distinctes : En faisant la division euclidienne du polynome caractéristique par sa dérivée, les racines du PGCD seront les valeurs propres multiples
S'il y a problème de diagonalisation, ce sera sur ces valeurs propres. Par contre, je ne sais pas s'il y a moyen de vérifier que le sous espace propre de chacune de ces racines est diagonalisable, sans en trouver explicitement des bases

[A voir en vidéo sur Futura]

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Je plussoie MiPaMa: a-t-on besoin de conditions nécessaires, suffisante ou nécessaire et suffisante ?

Une condition suffisante est donnée par le théorème spectral: une matrice symétrique à entrées dans R définie positive est diagonalisable et toutes ses valeurs propres sont réelles et positives.