Arithmétique

[invite2b0650e6]

Bonjour à tous,

En résolvant une équation "diophantienne" à deux inconnues x et y, je trouve que toutes les solutions rationnelles sont données par et , où m varie dans .

J'aimerais maintenant connaître les solutions entières. Comment faire?

Merci d'avance
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[gg0]

Ben ... m=a/b avec b non nul, puis après simplification, divisibilité.
x peut s'écrire -1+1/(2-6m²) .

Cordialement.

[invite2b0650e6]

Oui j'avais déjà fait tout ça mais je bloque sur "divisibilité".

[invite2b0650e6]

J'ai (sauf erreur) et

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2b0650e6]

Et ensuite je bloque :-/

[gg0]

On peut prendre a et b premiers entre eux. Ça donne quelque chose d'utile sur la deuxième divisibilité.

[invite2b0650e6]

a ou b est pair, c'est ça que je dois voir?

[invite2b0650e6]

Pourrait on m'aider à conclure s'il vous plaît ? Je ne vois pas ce qu'il y a de si décisif dans la seconde divisibilité.

[azizovsky]

Bonsoir, si j'ai compris la question , on'a avec , la seule solution que je vois pour que soit entier est ou i.e ? càd or donc ,pas de solution(à méditer).

[invite2b0650e6]

Bien essayé mais non, cene sont pas les seules solutions. Par exemple, m=1/2 donc x=1 et y=1. En fait je sais qu'il y a une infinité de solutions (x,y) entières, le tout est de les décrire.

[gg0]

J'ai parlé de "premiers entre eux".

[invite2b0650e6]

Pourriez-vous être plus précis quant à la prochaine étape de résolution?

[gg0]

Théorème : Si a et b sont premiers entre eux, et si c divise ab, alors ...

Je ne sais pas si ça aboutit, c'est ton exercice, je ne me permettrais pas de le faire à ta place.

[invite2b0650e6]

Je pense que vous voulez dire : Si a et b sont premiers entre eux, et si c divise ab, alors c divise a ou c divise b. Ce qui n'est vrai que pour c premier, malheureusement.

[invite2b0650e6]

Ok j'ai posé une question insoluble ...

[invite2b0650e6]

Apparemment personne ici ne sait m'aider. La question est probablement trop difficile pour vous.

[Resartus]

Comme déjà suggéré plus haut, on peut poser m=a/b avec . Il est facile de montrer que b doit être un multiple de 2.

Ensuite, une famille infinie de solutions est donnée en résolvant l'équation de Pell Fermat suivante b^2-3a^2=+ou-1
Cette équation se résoud par le développement en fraction continue de racine(3). Les fractions successives sont des b/a :
1/1, 2/1, 5/3,7/4, 19/11....
Il suffit de ne conserver que les solutions où b est pair. Les premières solutions qui répondent à cette conditions sont les suivantes :

1/2
15/26
209/362
2911/5042
40545/70226
etc.

[invite2b0650e6]

Merci beaucoup