Groupes

[invitec6eadd40]

Bonjour je suis actuellement en prépa et j'ai un exercice à rendre et je suis un peu bloqué j'aimerais de l'aide SVP.


Exercice 2 :
Soit G un groupe multiplicatif fini, non réduit à son élément neutre 1 et tel que : ∀ a ∈G, a² = 1
1. Montrer que G est un groupe abélien
2. Montrer que {1, a} est un groupe
3. Rappeler l’énoncé du théorème de Lagrange sur les groupes finis
4. Montrer que le cardinal de G est pair
Soit H un sous-groupe de G et x ∈ G – H (G privé de H). On appelle xH = {xh, h ∈H}.
5. Montrer que l’application Phi : H==>xH, h ==> Phi(h)=xh est injective
6. Montrer que l’application Phi est surjective
7. Montrer que Card(H) = Card(xH)
8. Montrer que H ∩ xH = ∅
9. Montrer que H ∪ xH est un sous-groupe de G
10. Montrer que le cardinal de G est une puissance de 2

Merci d'avance.
-----

[gg0]

Lire http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html.

La première question est un peu délicate, elle mérite que tu cherche un moment. En essayant diverses idées. Par exemple partir de b.b=1 et multiplier à droite et à gauche par a.

Cordialement.

NB : En prépa, si tu ne cherches pas seul un bon moment, tu n'iras pas bien loin !!

[PlaneteF]

Bonjour,

2. Montrer que {1, a} est un groupe

Un ensemble seul ne forme pas un groupe. Pour cela il faut le munir d'une l.c.i. Et puis c'est quoi ? ... Quels sont les quantificateurs ?

Cordialement

[invite23cdddab]

Je pense que la question c'est :

" Soit a appartenant à G, montrer que {1,a} est un sous groupe de G "

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Salut :

Pour la question , Je pense qu'il faut tracer une table de Cayley pour voir toutes les possibilités d’interaction des éléments de , ça donne quatre possibilités, c'est simple, et dans ce cas là, c'est un groupe.

Cordialement.

[invitec6eadd40]

La seul info que j'ai sur a c'est que ∀ a ∈G, a² = 1
Cordialement.

[invitec6eadd40]

Salut :

Pour la question , Je pense qu'il faut tracer une table de Cayley pour voir toutes les possibilités d’interaction des éléments de , ça donne quatre possibilités, c'est simple, et dans ce cas là, c'est un groupe.

Cordialement.

Je vais tenter ça.
Merci.

[PlaneteF]

La seul info que j'ai sur a c'est que ∀ a ∈G, a² = 1

Dans ce que tu écris là, est une variable liée, ... donc tu peux bien la remplacer par n'importe quelle lettre de n'importe quel alphabet c'est la même chose à alpha-équivalence près.

Cdt

[PlaneteF]

... je finis, et donc cela ne donne pas d'info sur le de la question2.

Donc si ton énoncé est celui que tu as mis, et bien sa rédaction est imprécise, et pour toi ce qui est important c'est de bien comprendre pourquoi il est imprécis (cf. message précédent).

Cdt

[invite47ecce17]

Bonjour,
Faut pas non plus confondre rigueur et rigorisme... tout le monde comprend l'enoncé.

[PlaneteF]

Chacun peut mettre le curseur de la rigueur différemment. En ce qui me concerne, pour la rédaction d'un énoncé​ (dont on peut attendre à ce qu'il soit exemplaire ou proche de cela), je mettrais ce curseur un demi-cran au dessus de celui qui est proposé ici.

Cordialement

[invitec6eadd40]

... je finis, et donc cela ne donne pas d'info sur le de la question2.

Donc si ton énoncé est celui que tu as mis, et bien sa rédaction est imprécise, et pour toi ce qui est important c'est de bien comprendre pourquoi il est imprécis (cf. message précédent).

Cdt

En effet l'énoncé que j'ai mis est exactement celui que l'on m'a donné je n'ai pas fait d'erreur en le recopiant.

[invite47ecce17]

Bref, as tu pu avancer sur ton exo, et sinon où es tu bloqué?

[invitec6eadd40]

Bref, as tu pu avancer sur ton exo, et sinon où es tu bloqué?

Je suis actuellement bloqué a la question 5).

[PlaneteF]

Tu peux appliquer la définition classique de l'injectivité. Je présume que tu connais cette définition. Idem pour la surjectivité dans la question suivante.

En fait sur quoi tu bloques exactement ?

Cdt

[invite47ecce17]

Si tu veux regler les questions 5, 6 et 7 d'un coup de cuillère, tu peux te contenter de remarquer, que la multiplication par x^{-1} te donne l'inverse de la multiplication par x de H dans xH.

[invite9dc7b526]

La question 7 est quand-même un peu étrange. On vient de définir xH comme l'ensemble des xh, h dans H et il faut montrer que l'image de h->xh, h dans H est xH. C'est du niveau première année de collège, pas de prépa.

[PlaneteF]

Concernant la question 7, ce que je comprends de la logique de cet énoncé, c'est d'abord la question 5 et 6 qui permettent de montrer qu'il existe une bijection entre les 2 ensembles et , ... et donc dans la question 7 on en déduit immédiatement que ces 2 ensembles ont le même cardinal.

Cet exercice semble être une petite "mise en jambe" permettant d'appliquer certaines définitions et propriétes de base.

Cdt

[invitec6eadd40]

Tu peux appliquer la définition classique de l'injectivité. Je présume que tu connais cette définition. Idem pour la surjectivité dans la question suivante.

En fait sur quoi tu bloques exactement ?

Cdt

Ce qui me bloque c'est que je connais les définitions mais je n'arrive pas à les appliqués et à faire la démonstration avec cette question qui m'est posé. Je ne sais pas vraiment de quel façon commencer déjà.

[PlaneteF]

Ce qui me bloque c'est que je connais les définitions mais je n'arrive pas à les appliqués et à faire la démonstration avec cette question qui m'est posé. Je ne sais pas vraiment de quel façon commencer déjà.

Et bien regardons ensemble : Quelle définition connais-tu de l'injectivité ?

[invitec6eadd40]

Soit une application f: E==>F
Pour tout x,x' appartenant à E, f est injective sur E si f(x)=f(x') ==> x=x'

[PlaneteF]

Soit une application f: E==>F
Pour tout x,x' appartenant à E, f est injective sur E si f(x)=f(x') ==> x=x'

Je vais chipoter sur cette formulation, préférer écrire : est injective si et seulement si pour tous et appartenant à ,

Maintenant tu peux appliquer cette définition à ton exercice.

Cdt

[invite23cdddab]

Autrement dit, tu prends x et x' tels que f(x) = f(x') et tu essayes de montrer que x=x'

[PlaneteF]

Et donc appliqué à cet exercice, vu que est déjà une variable libre "pris" par l'énoncé, on peut par exemple écrire :

Soient et appartenant à . Supposons que . Montrons que .

Cdt

[invite9dc7b526]

Concernant la question 7

ah oui pardon, c'est la question 6 qui me semble exagérément triviale.

[invitec6eadd40]

Et donc appliqué à cet exercice, vu que est déjà une variable libre "pris" par l'énoncé, on peut par exemple écrire :

Soient et appartenant à . Supposons que . Montrons que .

Cdt

D'accord mais pour la surjection je doit forcément procéder par Analyse synthèse?

[PlaneteF]

D'accord mais pour la surjection je doit forcément procéder par Analyse synthèse?

La surjection est quasi-immédiate. Soit un élément de . Par définition . A partir de là quel est un antécédent évident de (c'est-à-dire de ) par ?

Cdt