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Identification espaces vectoriels de dimension fini entre eux et applications



  1. #1
    rhgze

    Identification espaces vectoriels de dimension fini entre eux et applications


    ------

    Bonjour,

    Pour prouver que dans des espaces vectoriels de dimension finies, toutes les normes sont équivalentes on identifie un espace vectoriel quelconque de dimension n à R^n.

    La démonstration est disponible ici : page 5 et 6.

    Page 6, il est dit que si E est un espace vectoriel sur R, on identifie E à R^n puisqu'ils sont isomorphes.

    Est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi ça revient au même sur R^n que sur un R-espace vectoriel de dimension n ?

    A priori, s'ils sont isomorphe, il faudrait que la bijection entre les deux soit continue pour qu'ils définissent les même ouvert et soient donc topologiquement équivalents, ce qui pourrait permettre de faire une bijection continue de E dans R^n puis de travailler sur R avec la norme...
    Ou alors d'aller de R^n dans E puis dans R, sachant que passer de R^n dans E ne change rien, on peut directement travailler de R^n dans E...

    -----

  2. #2
    invite02232301

    Re : Identification espaces vectoriels de dimension fini entre eux et applications

    Bonjour,
    Si f est un isomorphisme de E sur R^n, alors f transporte la norme de E sur un norme de R^n, en posant ||f(x)||=||x|| tu définies bien une norme sur R^n. POur cette norme E et R^n sont isométriques, et en particulier sont topologiquement equivalents.
    Si N et N' sont deux normes sur E, et sont équivalentes apres "transport dans R^n", alors elles le sont aussi sur E. Du coup tu as simplement besoin de prouver que toutes les normes sont équivalentes sur R^n.
    Si je ne vous repond pas, c'est que vous etes dans ma liste d'ignoré. Thx, bye.

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