Topologie

[pierresimpore]

Bonjour on a debuté le cours sur la topologie et j'aimearais m'exercer sur cet exercice:
1) les fonctions suivantes sont-elles des distances sur R?
f(x,y) = | x² - y² |
g(x,y) = | x³ - y³ |

2) Soit (E, d) un espace metrique. Montrer que
a) si g(x,y)= min{1, d(x,y) } alors (E, g) est un espace metrique
b) si f(x,y) = d(x,y)/( 1+d(x,y) ) alors (E, f) est un espace metrique
c) les deux distances sont bornées


mes elements de reponses:
1) pour f on voit que f est definie R*R---> R+
on a f(x,y) = 0 => | x² - y² | = 0
=> x² - y² = 0
=> x=y ou x= -y
donc on peut conclure que f n'est pas une distance sur R.

pour g on a
g(x,y) = 0 => x=y et de plus g(x,y)=g(y,x)
concernant l'inegalité j'ai un peu du mal à l'etablir, on a g(x,z) = | x³ - z³ | , g(x,y) = | x³ - y³ |
et enfin g(y,z) = | y³ - z³ | . j'ai donc besoin d'un coup de pouce pour etablir l'inégalité.

2)

a) je sais qu'un espace metrique est un espace topologique formé d'un ensemble et de sa distance associé,
donc pour montrer que (E, g) est un espace metrique il me faut montrer que g est une distance associé à E, on a
g(x,y) = min(1, d(x,y)):

g(x,y) = min(1, d(x,y)) = 0 (là il ya un probleme parce que je ne sais pas qui est le minimum)
on sait que g(x,y) = g(y,x)
g(x,z) = min(1, d(x,z)) là aussi je bloque

b) *f(x,y) = 0 => d(x,y)=0 puisque d est une distance sur E alors x=y

* on a egalement f(x,y) = f(y,x)

* enfin la partie que je n'arrive pas à demontrer

c) montrer que les deux distances sont bornées (besoin de piste).
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[minushabens]

g(x,y) = min(1, d(x,y)) = 0 (là il ya un probleme parce que je ne sais pas qui est le minimum)

mais tu sais que 1 est différent de 0 !

[gg0]

Bonsoir Pierresimpore.

exercice 1 : "donc on peut conclure que f n'est pas une distance sur R" On peut conclure, mais ce serait mieux de le prouver. Rappel : Pour prouver qu'une propriété générale (commençant par "quel que soit ...") est fausse, on exhibe un contre exemple.
Pour g, il suffit de faire le travail, en utilisant les propriétés de la valeur absolue.

exercice 2 : Pour bornées, c'est tellement évident que te donner la solution, c'est comme expliquer une histoire drôle.

Cordialement.

[pierresimpore]

merci pour vos reponses:
toutes mes inegalités sont larges
exercice1: un contre exemple pour f, on sait que f(1, -1)=0 mais 1est different de -1.
pour g si j'utilise les propriétés de la valeur absolue on a
| x³ - z³ | = |x³ -y³ + y³ - z³ |
=> | x³ - z³ | < |x³ -y³ | + | y³ - z³ | donc
g(x, z) < g(x, y) + g(y, z)
conclusion g est une distance sur R.

exercice2:
a) * g(x,y) = min{ 1, d(x,y) } =0 => d(x,y) = 0 => x=y

* g(x,y) = g(y,x)

* g(x, z) = min{ 1, d(x,z) } en utilisant l'inegalité de shalse on a min{ 1, d(x,z) } < min{ 1, d(x, y) } + min{ 1, d(y, z) }
donc g(x,z) < g(x,y) + g(y,z)

b) pour montrer que f(x,z) < f(x, y) + f(y,z) on a
f(x,z) = d(x,z)/( 1+ d(x, y) )
d etant une distance sur E alors d(x,z) < d(x, y) + d(y,z) => 1 + d(x,z) < 1+ d(x, y) + d(y,z)
=> d(x,z) / ( 1 + d(x,z) ) < [ d(x, y) + d(y,z) ]/ [ 1+ d(x, y) + d(y,z) ]

=> d(x,z) / ( 1 + d(x,z) ) < d(x, y) / [ 1+ d(x, y) + d(y,z) ] + d(y,z) / [ 1+ d(x, y) + d(y,z) ]

=> d(x,z) / ( 1 + d(x,z) ) < d(x, y) / [ 1+ d(x, y) ] + d(y,z) / [ 1 + d(y,z) ]

=> f(x,z) < f(x, y) + f(y,z)

conclusion ( E, f ) est un espace metrique.

c) pour g on peut dire que 1 < min{1, d(x,y) } < d(x,y) donc g bornée ( j'espere que ce n'est pas une betise )

pour f, on sait pas d(x,y) > 0 et 1 + d(x,y) > 1 donc f(x,y) > 0 ( ggo je ne sais vraiment pas comment montrer que f est bornée )

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

" pour g on peut dire que 1 < min{1, d(x,y) } < d(x,y) " ???
ça ne borne pas g !
surtout, c'est faux du départ : 1 < min{1, d(x,y) } ??? As-tu réfléchi à ce que veut dire min ?? As-tu essayé de voir ce que ça donne par exemple sur R avec la distance habituelle d(x,y)=|y-x| ? Dans ce cas, d(1,1.5)=.. d(1,5)=..


Pour f, as-tu regardé ce que fait f(x,y) quand d(x,y) varie ? Donc étudié la fonction h-->x/(1+x) sur R+, puisque f(x,y)=h(d(x,y)).

C'est pour ces raisons que je dis que c'est élémentaire. Mais il semble bien que tu n'as pas concrétisé l'énoncé, tu t'es contenté de le prendre tel qu'il est sans essayer de voir comment on calcule ces distances.

Cordialement.

[pierresimpore]

on sait que d est une distance , donc en supposant que x<y alors x < d(x,y) < y

donc pour g= min{ 1, d(x,y) } on a g(x,y)= 1 ou g(x,y)= d(x,y).

* si min{ 1, d(x,y) } = 1 alors 1 < min{ 1, d(x,y) } et d(x,y) < y donc
1 < min{ 1, d(x,y) } < y

* si min{ 1, d(x,y) } = d(x,y) alors x < min{ 1, d(x,y) } < 1.

pour f j'ai etudié la fonction consideré et je trouve que si d(x,y) varie alors 0 < f(x,y) < 1

[gg0]

C'est à peu près n'importe quoi ! Tu n'as toujours pas compris ce que veut dire min.

Que vaut min(2,3) ?

Et tu racontes par moment des énormités dont on se demande où tu as pu aller les chercher : "on sait que d est une distance , donc en supposant que x<y alors x < d(x,y) < y"
Si x et y sont des points du plan et d la distance habituelle, " x < d(x,y) < y" n'a aucun sens. Que veut dire < pour un point ? !! Et même si x et y sont des nombres, c'est généralement faux. Prends x=5 et y=6, avec d(x,y)=|x-y|

Je vais arrêter mes interventions, ça ne sert à rien, tu n'as pas la volonté ni de chercher à comprendre, ni de faire des maths (appliquer des règles).

rappel : le fait que g est borné est une évidence, ça se lit sur la définition.

Désolé.

[minushabens]

allons gg0! tu vas dégoûter pierresimpore. Dire qu'on prend pour distance min(1,d(x,y)) ça signifie que si x et y sont à distance moindre que 1, on prend pour leur distance d(x,y) et sinon, si d(x,y)>=1, on prend pour distance 1.

[gg0]

Il se dégoûte bien tout seul, à ne pas chercher à savoir de quoi il parle !
je lui ai demandé au message #5 s'il avait réfléchi à ce que veut dire min, il ne l'a pas fait.

Je ne crois pas que ce qu'il écrit soit un véritable essai de faire son exercice; c'est de l'automathisme, comme dit Stella baruk : Du remplissage avec des mots et notations utilisés en maths, qu'il confond avec la véritable activité mathématique. Ses raisons d'écrire ne sont pas dans la signification de ce qu'il écrit, mais dans l'imitation de choses vues par ailleurs (et pas comprises, puisqu'il n'y mettait pas de sens).

Cordialement.

NB : Amuse toi-bien à lui répondre, mais si tu lui écris des bouts de réponses, il finira par écrire quelque chose qui a du sens pour toi; ce qui ne veut pas dire qu'il y a mis un sens. Relis ses messages 4 et 6.

[pierresimpore]

" que vaut min(2,3) " c'est 2.
g(x,y) = min{1, d(x,y) }, d est une distance, donc d(x,y) >= 0 donc on peut dire que min{1, d(x,y) } >= 0.
et de plus pour comprendre les choses j'ai pris min(1, a) avec a>=0 on aura toujours min(1, a) <= 1. par consequent

0 <(ou=) g(x,y) <(ou= ) 1. donc bornée.
Ne vous fachez pas gg0, vous avez raison sur plusieurs points me concernant. je ferez de mon mieux la prochaine fois.
merci aussi à minushabens.