Bonjour, j'ai du mal avec l'éxo suivant :
Soit X un espace métrique, a un point de X et r un réel supérieur à zero :
Montrer que la l'adhérence de la boule ouverte B(a,r[ est inclue dans la boule fermée B(a,r] .
Je pensait que l'ensemble des points adhérents à la boule ouverte était l'union de la boule ouverte et de la sphère S(a,r) et donc égal à la boule fermé. Or ce résultat n'est vrai qu'en espace normé. Pourquoi en métrique l'inclusion est-elle stricte?
Merci
Dans Z, pour la distance usuelle, l'adhérence de la boule ouverte de centre n et de rayon 1, c'est-à-dire du singleton {n}, est le singleton lui-même, pas la boule fermée de centre n et de rayon 1 qui est {n-1,n,n+1}.
D'accord merci, je me représenté la chose dans R² ce qui n'aide pas pour le coup. Donc en général on a inclusion et dans le cas particulier d'espace normé on a l'égalité?
Cependant l'ensemble Z muni de la norme "valeur absolu" n'est-il pas un espace normé? ainsi dans votre exemple précédent, on a toujours l'adhérence de la boule ouverte de centre n et de rayon 1 qui est égale au singleton {n} et on a toujours pas d'égalité entre l'adhérence de la boule ouverte et la boule fermé..
Pouvez vous m'éclaircir?
(En gros je ne vois pas ce que ça change que l'espace soit normé ou non)
Z n'est pas un espace normé, car Z n'est pas un espace vectoriel ^^
Exact merci! erreur d'inattention..
