Représentation linéaire

[invitecbade190]

Bonjour à tous,

Soit un - espace vectoriel de dimension finie, et son complexifié.
J'aimerais savoir si la notion de complexification est un cas particulier de représentation linéaire : ou de ? Comment est définie alors, cette représentation ?

Merci d'avance.
-----

[invitecbade190]

Bonsoir,

Je me permets de remonter ce fil pour voir si quelqu'un peut m'aider.
En fait, j'ai une autre question qui entre dans ce même cadre de complexification d'un espace vectoriel :
Soient : et deux - espaces vectoriels de dimension finie.
Soit : l'espace vectoriel des applications - linéaires.
Comment établir que :

Merci d'avance.

[invite14e03d2a]

Es-tu sur de toi? Les dimensions me semblent etre differentes.

[invite5357f325]

Moi aussi. En prenant V = V' = R, le membre de gauche est de R-dimension 4 et le membre de droite de R-dimension 2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5357f325]

En revanche si tu considère Hom(V_C,V_C') et Hom(V,V')_C comme des C-espaces vectoriels il me semble que c'est bon.

[invite47ecce17]

C'est Hom_R(V, V'_C ) qui est naturellement isomorphe à Hom_R(V, V')\otimes C et qui est aussi naturellement isomorphe a Hom_C(V_C, V'_C).

[invite47ecce17]

J'aurai du preciser en tant que C-espace (donc en tant que R-espaces egalement).

Au passage, R et C n'ont nullement besoin d'etre le corps des réels et des complexes, simplement deux anneaux (commutatifs bien sur) muni d'un morphisme R->C, et V et V' sont des R-modules.

[invitecbade190]

Salut :

Oui, je vous remercie de m'avoir signaler ça :
En fait, est l'espace vectoriels des applications - linéaires.

Merci d'avance pour votre aide.

[invite5357f325]

Que signifie ce "merci d'avance pour votre aide" ? Tout a déjà été dit.

[invitecbade190]

Parce que, on n'a pas encore montré l'isomorphisme en question, c'est pourquoi, je demande encore votre aide.
Il s'agit donc, de montrer que : .
Pour cela, je considère : définie par : avec : et et .
Je vois mal comment établir que est un isomorphisme.

[invitecbade190]

en fait, . et donc, , non ? Comment montrer que : est un isomorphisme ?
Merci d'avance.

[invite5357f325]

Deja on a pas Hom(C,C) = C^*. Deuxièmement, Hom(V,W) ne veut rien dire, c'est Hom_k(V,W) qui a un sens. Les applications R-linéaires de C dans C ne sont pas les même que les applications C-linéaire de C dans C (par exemple).

[invite47ecce17]

Je pense que tu y arriveras plus facilement si tu rajoute plus de TEX, et de nombres complexes non introduits comme ton alpha.
D'ailleurs je te suggere d'utiliser mathfrak ou mathscr, ca fait des lettres plus jolies, et on a l'impression de faire des choses encore plus sophistiquées comme ca.

Qu'est ce que tu penses de

Parce que, on n'a pas encore montré l'isomorphisme linéaire dans la catégorie des -modules bilatère (à équivalence de catégorie tensorielle tressée, rigide pres), c'est pourquoi, je demande encore votre aide.
Il s'agit donc, de montrer que : .
Pour cela, je considère : définie par : avec : et et , est le morphisme structural de dans C (qui fait commuter un diagramme bien sur) et beta à determiner.
Je vois mal comment établir que est un monomorphisme qui soit epi.

Ca en jete plus, non?

Et si tu veux que ca claque encore plus, tu peux demander si ce resultat n'aurait pas un lien avec la conjecture de Hodge ? Ou la suite spectrale d'Adams ?

[invitecbade190]

Non, d'un coté, on a : qui est - linéaire, non ? et de l'autre coté, on a : qui est aussi - linéaire, non ?
.
Donc, il y'a compatibilité, non ?
Pourquoi : est un isomorphisme ?

Edit : MiPaMa, attend; je lis ton message, merci.
Edit : Pas trop futé dE sE moquEr dEs gEns.

[invite47ecce17]

Edit : Pas trop futé dE sE moquEr dEs gEns.

Pas trop futé d'ecrire des choses sans en comprendre le sens.

[invitecbade190]

Non. Comment est définie : ? On n'explique pas ça dans mon cours. Comment je vais le savoir ?

[invite5357f325]

Je pense qu'il faut travailler dans les catégories pour rendre ça plus clair. C'est personnellement grâce à ça que j'ai compris la définition d'un espace vectoriel, malheureusement malgré ces efforts je n'ai pas compris ce qu'est un groupe (mais je pense que la théorie des limites inductives filtrantes de D-modules algébriques peut m'aider àcomprendre).

[invite47ecce17]

Plus serieusement Pablo/Chentouf. Pourquoi ne pas te contenter de poser tes questions sur MSE (vu que tu sembles deja le faire), la bas, contrairement à ici, on ne te demande pas de comprendre ce que tu fais, et tu auras des réponses qui te tomberont toutes cuites dans le bec. Tu ne les comprendras pas, mais ca c'est pas bien grave, vu que ca ne semble pas t'interesser.
Ici, il n'y a plus bcp de monde qui veuille rentrer dans ton jeu, alors, au moins sur MSE, certaines personnes pourront ecrire un peu de maths en réponse à tes messages, que tu conclueras en mentant "ok, j'ai compris".

[invitecbade190]

est l'extension de au corps complexe par linéarité, et est l'extension de au corps complexe par définition algébrique ( i.e : par le foncteur : ), et donc : . Il y'a juste un truc qu'il faut justifier, pourquoi permet t-on dans la première définition de poser : ? Sous que prétexte ?

[invite5357f325]

Pourquoi écris tu ça ? Ce n'est pas pour faire des maths (sinon tu en aurais déduis la solution dès le début) et ce n'est pas pour avoir l'air savant (sinon tu te serais rendu compte que toute application C-linéaire doit vérifier f(ia) = if(a) ). Tu as donc une autre raison, mais laquelle ?

[invitecbade190]

Il n'y'a pas de raison miracle derrière ce que j'ai écrit. j'ignorais le sens de ce qu'est la - linéarité.

[invite5357f325]

Pourquoi dans ton premier message parlais tu de Hom_C(V,V') si tu ignorais ce qu'était la C-linéarité ? Par définition Hom_C(V,V') est l'ensemble des applications C-linéaires de V dans V'.

[invite14e03d2a]

Pourquoi : est un isomorphisme ?

Est-ce que tu as essaye la methode habituelle? A savoir, trouver un candidat natural pour l'inverse et verifier. Ou bien, maintenant qu'on sait que les dimensions collent, determiner le noyau de tes applications lineaires?

[invitecbade190]

Est-ce que tu as essaye la methode habituelle? A savoir, trouver un candidat natural pour l'inverse et verifier. Ou bien, maintenant qu'on sait que les dimensions collent, déterminer le noyau de tes applications lineaires?

L'inverse est définie par : .
en effet : .
Puis par linéarité, on obtient : sur tout .
De même pour : .
D'où l’isomorphisme, non ?

[invite23cdddab]

Je pense qu'il faut travailler dans les catégories pour rendre ça plus clair. C'est personnellement grâce à ça que j'ai compris la définition d'un espace vectoriel, malheureusement malgré ces efforts je n'ai pas compris ce qu'est un groupe (mais je pense que la théorie des limites inductives filtrantes de D-modules algébriques peut m'aider àcomprendre).

C'est magnifique !

[invite5357f325]

Merci