Primitive de f(g(x)) et racine carrée impossible.

[invite9c473163]

Bonjours, dans le cadre d'un projet pour mon école, je dois trouver la primitive d'une fonction de la forme "f(g(x))". En réalité ce n'est qu'une étape intermédiaire pour aller vers une équation différentielle bien particulière.

J'ai voulu essayer de mettre au point un système d'intégrale où à partir de la fonction g(x), nous déformons le repère (0,x,y) grâce à une transformation afin que la courbe de g(x) appartienne à la droite des abscisses en conservant les distances.

On déroule ainsi la courbe en une droite (y=0) tout en conservant les distances des courbes entre a et b (soient a(x1;g(x1)) et b(x2;g(x2)) ).

Précision, nous étudierons séparément les différents intervalles strictement monotones de la fonction g afin de simplifier notre réflexion.

Pour la fonction x² par exemple, en aplatissant cette fonction sur [0;+infini], nous devons utiliser une certaine transformation de l'espace en 2D du repère pour aplanir la courbe sur l'axe des abscisse.

Nous avons maintenant un axe des abscisses très étrange, qui ressemble à un axe log(x), les nombres variant à une vitesse de plus en plus grand vers l'infini.

Une dernière modification, il faut maintenant trouver la transformation qui permettra d'étirer l'axe des abscisse obtenu en un axe des abscisses normal, sans variation de distances entre les nombres.

Maintenant tout devient simple:
-Nous appliquons la primitive F de la fonction f
-Nous appliquons à l'espace du repère, afin de modifier la courbe de F, la transformation réciproque de la deuxième transformation.
-Nous faisons de même avec la transformation réciproque de la première transformation.

-Vous venez de trouver la courbe de la primitive de f(g(x)).

C'est une expérience de pensée qui semble marcher intuitivement.
L'est-elle expérimentalement?

Pour cela j'essaie de trouver les 2 transformations de l'espace correspondant à x² :

Sur une courbe, pour mesurer une distance entre 2 points: L=int[a->b]( (1+f'(x)²)^(1/2) )
J'en déduis que la transformation numero 1 de l'espace est une transformation transformant la courbe de x² en courbe de la primitive de (1+x²)^(1/2)

J'en déduis aussi que la transformation numero 2 est seulement une transformation horizontale de l'espace du repère par la réciproque de cette primitive.

Sauf que j'ai beau essayer, je n'arrive pas à trouver la racine carrée de 1+x². J'ai même tenté de passer par les quaternions (c'était nouveau pour moi et je voulais voir si cela changeait quelquechose).
Mais nada, rien, j'ai beau chercher des articles sur internet essayer différentes réflexions tordues, aucune ne marche :/

HELP ME PLZ
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[invite23cdddab]

J'ai rien compris.

Enfin, de façon générale, il n'est pas possible de trouver une primitive de f(g(x)), même en connaissant une primitive de f et de g.

D'autre part, une primitive de est (ça se fait par intégration par partie si on connait la dérivée de )

[invite9c473163]

Merci de ta réponse!
Je me rend compte à quel point je m'étais perdu dans la complexité en oubliant les choses simples xD

Peut-être que je me suis mal exprimé.

Le but de ce système est de considérer g(x) comme une déformation du plan du repère (0,x,y).
On connait la primitive de f(x) mais pas de f(g(x)).

Comme nous avons déformé la courbe de g(x) pour qu'elle coincide avec l'axe des abscisses via les 2 modifications expliquées dans le sujets,
nous pouvons donner la courbe de la primitive de f(x) puis utiliser les modifications réciproques aux précédentes afin d'obtenir la primitive de f(g(x)).

Si tu préfères, on adapte l'ensemble réel R1 en ensemble R2, on fait la primitive, on utilise la modification réciproque que l'on a utilisé sur l'ensemble R1 pour obtenir R2.
On utilise seulement le repère de R2 comme étape de la recherche de la primitive mais nous revenons dans R1 à la fin pour trouver la solution.

Ce qui est intéressant, c'est que trouver les transformations de R1 en R2 et les poser de manière mathématique permettrait d'avoir un résultat mathématiquement juste de la primitive de f(g(x)) et non approché numériquement.

[gg0]

Bonjour.

C'est une idée intéressante, mais qui se heurte à pas mal de problèmes. Déjà, tu ne sais pas faire. Donc une idée sans utilité. Plus gênant : Il n'y a aucune raison pour qu'une primitive de h : x -->f(g(x)) s'écrive F(quelque chose). Très précisément, la courbe de F dans le repère modifié (quelle courbe, d'ailleurs, celle de F(x) ou celle de F(g(x)) ?) n'a pas grand chose à voir avec les primitives de h.

Pour essayer encore de te ramener sur terre : Si ta méthode aboutit, tu peux la traduire immédiatement en un calcul qui donnera une formule. Formule qui ne peut pas exister : On connaît des cas pour lesquels on a démontré qu'aucun calcul à partir des fonctions simples et des opérations de base ne donne une primitive (par exemple pour x-->exp(x²)). Or une formule générale donnerait un calcul.

Désolé, mais tu pars dans le mur.

NB : Pour des cas particuliers de g(x), on a des formules. Par exemple g(x)=ax+b, qui correspond dans ton cas à un changement de repère sur l'axe des x.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23cdddab]

C'est le principe du changement de variable...

[invite9c473163]

gg0, tu as raison sur le fait qu'il n'y a aucune raison qu'une primitive de h : x -->f(g(x)) s'écrive F(quelque chose).
Sauf que je n'ai jamais dis que les modifications R1->R2 étaient de simples fonctions. De toute évidence, pour des transformation spatiales, il vaut mieux utiliser des matrices.

Ainsi, la transformation de l'espace R1->R2 n'est pas qu'un simple étirement/rotation/translation vérifié en tout point du plan, cette transformation peut change selon le point A(x;g(x)) en R1. Elle n'est pas forcement constante, ce qui empêche une primitive générale de f(g(x)).
Cependant, R1->R2 est applicable à chaque cas particulier, donc, grâce à une primitive de f(x) qui elle est générale, nous pouvons calculer la primitive de f(g(x)).

Ainsi nous ne pouvons pas "écrire" de fonction miracle primitive de f(g(x)), mais, ensembles: la transformation R1->R2 pour tel point de R1, la fonction primitive de f(x) et la transformation R2-R1 pour tel point de R2.

Tryss2, oui cela ressemble de près à du changement de variable, sauf que pour donner un changement de variable normalement tu as une équation du genre "dx=..." . La méthode que je propose ne se base pas forcement sur une égalité simple, mais sur une transformation de l'espace R1->R2 pouvant mener à des égalités différentes selon le point de référence A(x;g(x)).

Au fil de cette méthode on trouvera des formules qui ne seront vrai que dans le cas particulier que nous étudions et non pas dans le cas général. La méthode est générale mais pas la résolution.

[invite23cdddab]

Calcule donc grâce à ta méthode une primitive de exp(-x²)... Je suis curieux de voir.

[gg0]

Ou simplement,

prouve tes dires, deadcopse33. Pour l'instant il n'y a que des affirmations de principe...

Quant à ta question initiale, la racine carrée de 1+x² est et donc tu l'as parfaitement trouvée ...

[invite9c473163]

Ou simplement,

prouve tes dires, deadcopse33. Pour l'instant il n'y a que des affirmations de principe...

Quant à ta question initiale, la racine carrée de 1+x² est et donc tu l'as parfaitement trouvée ...

Je teste sur mon temps libre, différentes transformations du plan. Et pour ta réponse quelque peu moqueuse sur (1+x²)^(1/2)=(1+x²)^(1/2), bravo, tu me répond par une jolie tautologie ^^.

Plus sérieusement je recherchais une fonction précise convenant à cette racine carrée, ce qui est impossible en Réels(D=1) et en Réels(D=2) (complexes) . C'est pour cela que je cherchais une fonction avec des coefficients en quaternions pour trouver une fonction exacte.

Par ailleurs, aucun ordinateur ne calcule réellement directement la fonction Racine carré. Elle est définit seulement comme étant la réciproque de X², ou alors par développement limité selon les circonstances. Cela, parce que cette fonction donne des résultats irrationnels à partir de nombres qui sont rationnels et cela aucune écriture mathématique à ma connaissance ne permet d'écrire des nombres irrationnels, juste des approximations.

Prenons cependant des racine carré de polynôme comme x²+2x+1 , la racine carrée de ce polynôme est 1+x et est donc calculable.

Dans le cas du polynôme, 1+2x², la décomposition complexe n'apporte pas de réponse. 1+2x²=(2^(1/2)*x+i)*(2^(1/2)*x-i) => (2^(1/2)*x+i) =/= (2^(1/2)*x-i) => pas de racine carrée dans R(D=2)

D'où mon idée d'aller chercher dans les quaternions R(D=4) pour voir s'il y a des racines.

Bon maintenant je m'en fiche un peu de cette racine, j'ai trouvé un autre moyen de faire depuis mais bon... Evite de prendre de haut les gens qui essayent juste de proposer des choses nouvelles et qui elles, se remettent tout le temps en question pour chercher une réponse adaptée. Peace

PS: Si je réussis à conclure que ma méthode ne peut pas marcher je marquerai ce résultat sur cette page, en cas de résultats positifs aussi. Ne soyez pas trop pressés, je suis étudiant et je pense d'abbord aux examens

[gg0]

Tu sais, deadcorpse33,

quand quelqu'un affirme qu'il a une méthode qui permettrait (en principe) de trouver des résultats qu'on sait impossible, on commence par lui faire remarquer ça. Quand il dit que sa méthode marchera quand même (tout en demandant de l'aide pour le réaliser ), on le met au défi.
"Evite de prendre de haut les gens qui essayent juste de proposer des choses nouvelles "
Je ne te prends pas de haut, je te mets devant tes affirmations. ce n'est pas parce qu'une idée est nouvelle qu'elle marchera. De plus, il n'y a rien de nouveau, tu présentes seulement de façon géométrique un changement de variable.
Et il y a plein de gens sur les forums qui veulent qu'on prouve telle ou telle intuition sans avoir les moyens de la penser vraiment, qui voudraient devenir célèbres parce qu'ils ont eu une idée qui résoudrait une conjecture célèbre, gagner le million de dollars de la fondation Clay aussi.
Certains développent même une belle preuve (fausse) généralement avec des outils élémentaires et des erreurs élémentaires, elles aussi.

Dès le départ, tu es tombé sur un bec. Tu n'y arrives pas pour un cas très simple (pour lequel on sait calculer explicitement une primitive). Ça aurait dû te faire réfléchir ...

Cordialement.