Famille libre.

[invitea5398569]

Bonjour,

J'ai un problème pour montrer qu'une famille est libre, je n'ai absolument aucune idée de ce qu'il faut faire.

J'ai E un R-ev, et j'ai f un endomorphisme de E telle que f²=-Id. Je dois montrer que si on a (e1,...,ep) tels que (e1,...,ep,f(e1),...f(ep-1) ) est libre, alors
(e1,...,ep,f(e1),...,f(ep) ) est libre.

J'ai essayé d'écrire la relation de dépendance linéaire :

et d'utiliser les propriétés de f, mais rien à faire, je ne trouve pas. J'ai demandé à mon professeur qui m'a dit qu'il fallait arriver à quelque chose comme :

Mais j'ai beau essayer, je n'y arrive pas ! ><
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[invited3a27037]

bonjour

Par l'absurde on suppose (e1,...,ep,f(e1),...,f(ep)) liée

On est parti d'une famille libre (e1,...,ep,f(e1),...f(e_(p-1)) ), on ajoute un élément f(ep) et on obtient une famille liée (e1,...,ep,f(e1),...,f(ep))

c'est donc que le dernier élément ajouté est combinaison linéaire des précédents.

f(e_p) = a_1.e_1 + .. + a_p.e_p + b_1.f(e_1) + ... + b_(p-1). f(e_(p-1)) (équation 1)

on applique f et on utilise fof = -Id

-e_p = a_1.f(e_1) + .. + a_p.f(e_p) - b_1.e_1 - ... - b_(p-1). e_(p-1) (équation 2)

ce e_p on le réinjecte dans l'équation (1)

je n'ai pas poussé les calculs plus loin (c'est lourdingue avec les indices) mais on voit apparaitre un a_p²+1 c'est bon signe et il faudra trouver une contradiction

[invitea5398569]

Comment je fais pour virer tous les indices ? je me doute que les scalaires sont non-tous nuls mais j'arrive pas à avancer, je bloque.

[gg0]

Pourquoi vouloir "virer tous les indices" ?? Ils sont là, à toi de t'en accommoder.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited3a27037]

t'aurais pas 2 représentations différentes de f(e_p) sur la famille libre (e1,...,ep,f(e1),...f(e_(p-1)) ) ?
Je ne sais pas je ne suis pas allé plus loin que ce que j'ai écrit, mais c'est ce qu'il me semblait.

si c'est le cas, c'est la contradiction que l'on cherche

[invitea5398569]

Pourquoi vouloir "virer tous les indices" ?? Ils sont là, à toi de t'en accommoder.

Bah je suppose que l'on doit se servir du fait que (e1,...,ep,f(e1),...,f(ep-1) ) est libre, et du coup ça libère énormément de place vu que les scalaires sont nuls.

Moi j'ai ça :


j'ai ré-injecté (2) dans (1) comme on l'a dit, et je vois bien le mais après ?

[gg0]

Bah je suppose que l'on doit se servir du fait que (e1,...,ep,f(e1),...,f(ep-1) ) est libre, et du coup ça libère énormément de place vu que les scalaires sont nuls.

Quels scalaires ? Si tu avais une combinaison linéaire nulle. Mais l'as-tu ?
Au contraire, le fait qu'une famille soit libre fait que les combinaisons linéaires de ces éléments ne se raccourcissent pas sauf cas trivial (coefficient nul).

Cordialement.

[invitea5398569]

Bah je suppose l'avoir étant donné que je suppose la famille libre. Pour moi la famille de vecteurs libre est la famille telle que si tu écris une relation de dépendance linéaire entre eux, c'est nécessairement la relation triviale. du coup, , et jusqu'à sont nuls.

[gg0]

" si tu écris ..."
Mais ce n'est pas ce que tu as fait.

Bon, et si tu essayais de suivre le conseil de Joël ?

[invitea5398569]

Mais je les ai suivis, mais je n'arrive pas à aller plus loin, j'ai jamais dû manier autant d'indices pour prouver la liberté d'une famille, et pourtant j'en ai eu des trucs pas simples =/

[invitea5398569]

Bon j'ai repris le problème, et j'obtiens effectivement deux égalités ;
La première du départ ,
et la deuxième

exprimées selon . Et ensuite ? Je ne vois pas où est la contradiction ici.

[gg0]

Message #5 : Unicité de la décomposition sur une famille libre.

NB : Il y a un problème dans ce que tu as écrit : ... les f(x) se multiplient mal

[invitea5398569]

Oui, j'ai corrigé la faute.

Je n'avais pas pensé à l'unicité, en même temps je n'ai jamais utilisé cet argument auparavant. Bon bah du coup je peux diviser par mon scalaire car il est strictement positif et utiliser l'argument. Merci beaucoup !

J'aurais besoin d'une piste pour la dernière partie de l'exo, je suppose E de dimension finie (paire car obligée) et je dois montrer l'existence d'une base B de E telle MatB(f) = diag(J,...,J) avec :

[gg0]

Sans doute utiliser la première moitié d'une base, ou plus simplement par récurrence : prendre un vecteur non nul et son image (non colinéaire - prouve-le), puis un vecteur non nul qui n'est pas engendré par les précédents, ce qui donne une famille libre à 4 éléments d'après la question précédente, et recommencer. A toi de rédiger.

[invited3a27037]

Soit 2n la dimension de l'espace

On choisi (e1,...,en) une famille libre quelconque
donc (e1,...,en,f(e1),...f(en) ) est aussi une famille libre (à justifier) , donc une base

Essaye de voir avec cette base à quoi ressemble la matrice de f. Ce n'est pas la matrice attendue mais pas loin

[invitea5398569]

Merci, j'ai trouvé la base ! J'ai enfin fini cet exercice, encore 4 du même genre x_x