Bonjour =)
Dans une démo que je vois, on arrive par le théorème d'isomorphisme à montrer que A/I isomorphe à R (réels) (ici, A est un anneau et I un idéal de cet anneau) et ensuite il est dit (c'est précisé que c'est évident) que A isomorphe à. Je vois pas trop pourquoi. La somme directe est la somme de modules? (en fait j'y connais pas grand chose).
Salut :
Si, je ne m'abuse :
La suite :
En fait, d'une certaine façon on a A = A/I + I.
Si tu choisi un représentant dans chaque classe de A/I, noté A-I chaque élément de A s'écrit de façon unique comme la somme d'un élément de I et d'un element de A-I
La suite :
Et dans ce cas concrèt, pourquoi on peut dire queEnvoyé par chentouf
Concrètement, tu peux identifier R et l'espace des fonctions réelles constantes sur R. Une fonction continue sur R est bien la somme d'une fonction continue s'annulant en 0 et d'une fonction constante, et ce de manière unique.
@Zaskzask: N'ecoute pas ce que te dis Chentouf, R n'est pas un Z-module libre (ou un groupe abélien libre, ce qui revient au meme). Pour te dire pourquoi ta suite se scinde, il faudrait que tu nous dises ce qu'elle est exactement.
Si c'est une suite exacte de R-espaces vectoriels alors elle est automatiquement scindée. Pour le voir, relève une base (ou considère n'importe quel supplementaire de I).
En fait, l'exemple est précisément celui donné par chentouf, sauf que c'est
Dans ce cas ce sont des R-espaces vectoriels et ta suite exacte se scinde automatiquement.En fait, l'exemple est précisément celui donné par chentouf, sauf que c'est
Voici une preuve, soit 0->A->B->C->0 une suite exacte de k-espaces vectoriels (edit: ca veut simplement dire que B/A est isomorphe à C).
Alors on peut identifier A à un sous espace de B, et soit S un supplementaire de A dans B. La fleche de S dans C induite par celle de B dans C est un isomorphisme, puisque de noyau nul et clairement surjective car p(b) et b (où p est la projection sur S parallèlement à A) s'envoient sur la meme chose dans S. Comme l'on a B=A\oplus S, il s'en suit que l'on a un isomorphisme de B avec A\oplus C.
Au passage note que si A, B et C sont des R-algèbres alors rien ne dit que l'isomorphisme soit un morphisme d'algèbres. Ici par exemple ca n'est pas le cas.
Tu retrouves aussi la démo de Minushabens, car un supplementaire des fonctions lisses s'annulant en un point est donné par les fonctions constantes (dans les fonctions lisses).
