Bonjour,i
dans un problème, il m'est demandé de montrer qu'il existe des ensembles disjoints appartenant à [a;b], a et b appartenant à R, ayant la même adhérence . Si quelqu'un pouvait me donner un exemple cela m'aiderait beaucoup car je bloque sur le fait que des ensembles disjoints puisse avoir la même adhérence .
Bonjour.
Que veut dire "appartenant à [a;b]" ?
Sinon, une piste (il y a peut-être plus simple) : Quelle est l'adhérence de Q ?
Cordialement.
On peut même trouver une infinité de parties de [a,b] deux à deux disjointes et qui ont toutes [a,b] comme adhérence.
appartenant à l'intervalle [a;b] , pour tout a et b appartenant à R et a<b . Mais déjà un exemple sur n'importe quel intervalle ça me suffirait après je me débrouillerai .Que veut dire "appartenant à [a;b]" ?
Je ne saurais pas le démontrer mais je dirais qu'il s'agit de R . je vois ou vous voulez en venir , à partir de la on peut montrer que R-Q a pour adhérence R . J'arrive à le concevoir intuitivement mais ça demande sûrement pour le prouver des notions sur la construction de R par les suite convergentes rationnels que je n'ai pas étudié encore . Mais au moins oui j’entraperçois comment deux ensembles disjoint peuvent avoir la même adhérence . Si vous aviez un exemple plus simple ce serait parfait .Quelle est l'adhérence de Q ?
L'exemple le plus simple est l'ensemble vide, muni de la topologie ne contenant que l'ensemble vide (l'unique topologie possible d'ailleurs). Deux parties de l'ensemble vide sont nécessairement disjointes et leurs fermetures sont égales.
edit: d'ailleurs on peut prendre quand-même E=[a,b] et comme parties disjointes vide et vide. Leur intersection est vide (elles sont disjointes) et elles sont égales à leur fermeture.
ok merci minushabens . C'est pas l'exemple qui me parle le plus mais ça me fait au moins deux exemples avec celui de Q et R-Q .
Il y en a d'autres: considère Q et un translaté de Q d'un nombre irrationnel. Ces deux ensembles sont disjoints et leur fermeture est toujours R. Je pense qu'on doit pouvoir produire une partition de Q en deux ensembles encore denses dans R.
