Ensembles ouverts/fermés, leur intérieur, bord et adhérence

[invite7efd1291]

Bonsoir !

Je ne comprends pas comment déterminer si un ensemble est ouvert ou fermé, son intérieur, son bord et son adhérence.
Les phrases de mon livre ne me permettent pas de le comprendre, Wikipedia non plus.

Par exemple, je devrais déterminer ceci pour A = [-2,3[.

Voilà ce que dit mon livre à propos d'un ensemble ouvert :

"Un ensemble A est dit ouvert si pour tout x ∈ A il existe un intervalle A′ =]a′, b′[ tel que x ∈ A′ et A′ ⊂ A."

Comment déterminer s'il existe un intervalle A' ?

Merci !
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[invited3a27037]

bonsoir

et bien essaye x=-2 et regarde si tu peux trouver A'

[invite7efd1291]

Désolé, je ne vois pas où "mettre" ou remplacer par x = -2 ou comment faire pour trouver A' ?

[invited3a27037]

Le contraire de :

"Un ensemble A est dit ouvert si pour tout x ∈ A il existe un intervalle A′ =]a′, b′[ tel que x ∈ A′ et A′ ⊂ A."

est:

"Un ensemble A n'est pas ouvert si il existe x ∈ A tel que quelque soit A′ =]a′, b′[ tel que x ∈ A′ on a A′ not ⊂ A."

Ici on a A = [-2,3[
Je te proposais de prendre x = -2
Soit A' =]a′, b′[ tel que -2 ∈ A′

Cet A' peut-il est inclu dans A ?
Visiblement non.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7efd1291]

Cela voudrait dire que tous les ensembles ayant au moins un crochet fermé sont des ensembles fermés ?

En l'occurrence, ce que tu m'as demandé c'est, en prenant A' = ]-2 ; 1[, l'ensemble A' n'est pas inclus dans A est-ce bien juste ?

Merci

[invited3a27037]

non

si un ensemble n'est pas un ouvert cela ne signifie pas qu'il est un fermé.
Un ensemble peut être ouvert, fermé, ni ouvert ni fermé, ouvert et fermé.

J'ai juste montré que ton ensemble A = [-2,3[ n'est pas un ouvert.

Si tu veux savoir s'il est un fermé, regarde si son complémentaire est un ouvert ou pas.

[invite7efd1291]

Merci beaucoup ! Je vais en faire quelques uns et je reviendrai poser des questions ici
A bientôt !