Je poste l'énoncé de mon exercice car j'ai des difficultés a résoudre la question 3.a) ,4.a)b)c).
1. Démontrer que pour tout nombre réel x de l'intervalle [0;3]
(e^-x)-x+3 > 0
2. F est la fonction définie sur [0;+[ par:
f(x)= x+2(e^x)/ 1+(e^x)
On a utilisé une calculatrice formelle pour obtenir la dérivée de la fonction f. Voici le résultat:
d/dx(x+2e^x/ 1+e^x) -((x-3)e^x-1)/(e^x+1)2
a) Justifier, en utilisant les résultats affichés , que pour tout x0, f'(x) a la même signe que (e^-x)-x+3
b) En déduire le sens de variation de f sur [0;3]
c) Vérifier que pour tout x positif ou nul, 2-f(x)= (2-x)1/1+e^x
3. La suite u est définie par U0= 0 et pour tout nombre entier naturel n, Un+1= f(Un)
a) La figure ci dessous représente la courbe (T) de la fonction f sur l'intervalle [0;3] ainsi que la droite d'équation x=y
On obtient une droite verte x=y et une courbe (T) rouge partant de 1 et croissante.
Construire sur l'axe des abscisses les 4 premiers termes de la suite.
Emettre une conjecture sur le comportement de cette suite (sens de
variation, bornes, limite...)
b) démontrer que pour tout nombre entier naturel n, 0< Un < Un+1 <2.
c) Démontrer que la suite u est convergente.
4. a) Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 <2-Un+1 < 1/2(2-Un) (on pourra utiliser 2.c) et 3.b))
b) En déduire en raisonnant par récurrence que pour tout nombre entier naturel n, 0<2-Un<(1/2)^n+1
c) Déterminer alors la limite de u.
Pouvez vous m'aider s'il vous plait?
merci.
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Envoyé par alice06 
