Suite récurrente du type Un+1=f(Un)

[berradma]

Bonjour à tous,
Je suis en première année de prépa intégrée en école d'ingénieurs, et je suis tombé, en td, sur un exercice traîtant d'une suite récurrente qui se présente comme suit :

Un+1=racine carrée de[(2Un+1)/(5Un+3)]
U0=1

Sachant que Un+1=f(Un) , j'aimerais savoir comment étudier la monotonie de f, j'ai pensé à travailler Un+1-Un, en la multipliant par la quantité conjuguée, mais j'ai vu que ça ne me menait à rien parcequ'on n'a pas à quoi comparer Un. Autrement dit, on ne sait pas si Un est positive ou négative.

Aidez-moi, s'il vous plait.
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[phys4]

Bonsoir,

Je pense que votre fonction f(U) est
Vous pouvez facilement montrer que cette fonction est croissante en utilisant la dérivée de la fraction et sachant que racine est une fonction monotone croissante. Par conséquent si la suite croit au départ, elle reste toujours croissante, si elle décroit au départ, elle reste toujours décroissante. Est ce facile à démontrer ?

La suite est toujours une suite positive, car les termes proviennent d'une racine carrée.
Pour avoir le sens de variation, il reste à comparer U1 et U0

Vous en déduirez la limite qui est la solution de l'équation



Bonne suite.

[ericcc]

Attention Phys4, tu commets une erreur. En effet on veut le signe de Un+1 - Un pour savoir si la suite est croissante ou décroissante (si elle l'est...), on veut donc comparer f(Un) et Un, et non avoir la croissance de la fonction f, même si c'est un élément d'information utile pour l'étude de f...

[phys4]

on veut le signe de Un+1 - Un pour savoir si la suite est croissante ou décroissante (si elle l'est...), on veut donc comparer f(Un) et Un, et non avoir la croissance de la fonction f, même si c'est un élément d'information utile pour l'étude de f...

Salut à vous,

Pour une fonction monotone croissante, il est très facile de démontrer que le signe de U_n+1 - U_n est constant.
En effet U_n+1 < U_n implique que f(U_n+1) < f(U_n)

Ici l'étude de la fonction suffit pour en déduire si la fonction est croissante ou décroissante. Est ce exact ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[berradma]

Je suis d'accord avec vous, concernant le fait que f(Un+1) < f(Un), mais je n'arrive pas à comprendre comment vous avez trouvé que Un+1<Un, autrement dit comment vous avez trouvé la monotonie de U . Puisqu'en fait, on nous demande de déduire la monotonie de Un, de l'étude de la monotonie de f .

[ansset]

Vous en déduirez la limite qui est la solution de l'équation

.

exact, mais la solution n'est pas évidente !

[berradma]

Que me proposez-vous, dans ce cas-là ? S'il vous plaît, j'ai besoin d'aîde, c'est la première fois que j'aborde un tel type d'exercices .

[phys4]

Je suis d'accord avec vous, concernant le fait que f(Un+1) < f(Un), mais je n'arrive pas à comprendre comment vous avez trouvé que Un+1<Un, autrement dit comment vous avez trouvé la monotonie de U . Puisqu'en fait, on nous demande de déduire la monotonie de Un, de l'étude de la monotonie de f .

Vous avez les premiers termes qui se calculent facilement, et il suffit de montrer que U1 < U0

N'essayez pas de calculer la limite, c'est une équation du 3ème degré.
Vous avez aussi que Un est toujours positif.

[ansset]

Vous avez les premiers termes qui se calculent facilement, et il suffit de montrer que U1 < U0

N'essayez pas de calculer la limite, c'est une équation du 3ème degré.
Vous avez aussi que Un est toujours positif.

tu me rassures , parceque je cherchais une subtilité en vain pour trouver la limite ( même avec un poly de degré 3 )
en revanche, un petit tableur montre que celà converge très vite..