Exercice: une suite du type Un+1=f(Un)

[invite1c161429]

Bonjour a tous,

Je poste l'énoncé de mon exercice car j'ai des difficultés a résoudre la question 4.a).

1. Démontrer que pour tout nombre réel x de l'intervalle [0;3]
(e^-x)-x+3 > 0
2. F est la fonction définie sur [0;+[ par:
f(x)= x+2(e^x)/ 1+(e^x)
On a utilisé une calculatrice formelle pour obtenir la dérivée de la fonction f. Voici le résultat:

d/dx(x+2e^x/ 1+e^x) -((x-3)e^x-1)/(e^x+1)2

a) Justifier, en utilisant les résultats affichés , que pour tout x0, f'(x) a la même signe que (e^-x)-x+3
b) En déduire le sens de variation de f sur [0;3]
c) Vérifier que pour tout x positif ou nul, 2-f(x)= (2-x)1/1+e^x

3. La suite u est définie par U0= 0 et pour tout nombre entier naturel n, Un+1= f(Un)

a) La figure ci dessous représente la courbe (T) de la fonction f sur l'intervalle [0;3] ainsi que la droite d'équation x=y

On obtient une droite verte x=y et une courbe (T) rouge partant de 1 et croissante.

Construire sur l'axe des abscisses les 4 premiers termes de la suite. Emettre une conjecture sur le comportement de cette suite (sens de variation, bornes, limite...)
b) démontrer que pour tout nombre entier naturel n, 0< Un < Un+1 <2.
c) Démontrer que la suite u est convergente.

4. a) Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 <2-Un+1 < 1/2(2-Un) (on pourra utiliser 2.c) et 3.b))
b) En déduire en raisonnant par récurrence que pour tout nombre entier naturel n, 0<2-Un<(1/2)^n+1
c) Déterminer alors la limite de u.

Pouvez vous m'aider s'il vous plait?

Un grand merci.

Cordialement.
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[invite8d4af10e]

Bonjour
exp : la fonction exponentielle .
on veut bien t'aider si tu bloques , mais là on ne sait pas où .
la 1 question , tu as 0<= x <=3 , à ton avis , qu'en est il de -x+3 ?
tu sais que exp(x)>0 , qu'en est il de exp(-x) ?
2) tu sais calculer une dérivée , pas besoin de calculette .
tu as écrit : On a utilisé une calculatrice formelle pour obtenir la dérivée de la fonction f. Voici le résultat:

d/dx(x+2e^x/ 1+e^x) -((x-3)e^x-1)/(e^x+1)2

ton résultat veut rien dire , quand on exprime une dérivée f'(x)=......

[PlaneteF]

on veut bien t'aider si tu bloques , mais là on ne sait pas où .

Yo gars (ou yoga)

Check this out!

Je poste l'énoncé de mon exercice car j'ai des difficultés a résoudre la question 4.a).

[invite8d4af10e]

Salut toi
qu'est ce que tu veux , désolé mais je persiste pour la dérivée

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1c161429]

F'(x) = -[exp(x)(x-3)-1]/(exp(x)+1)² Voilà la dérivée. Et pour info, la calculatrice formelle a été utilisée dans l'énoncé, ce n'est pas moi qui l'ai utilisé, on nous donne tout simplement une capture d'écran de la fonction f(x) puis de f'(x).

J'ai fait toutes les questions de cet exo sauf la question 4.a) car je ne vois pas comment démontrer résultat en utilisant les résultats de la question 2.c) et 3.b)

[invite621f0bb4]

A titre d'info jamo, on peut tout à fait écrire une dérivée en utilisant d/dx (même si là je pense que ça manquait un peu de parenthèse ^^)

[invite8d4af10e]

admettons
pour démontrer que 0 <2-Un+1 < 1/2(2-Un) , tu sais que 0< Un < Un+1 <2 (1)
si 0< Un+1<2 d’après (1) alors 2-Un+1 par apport à 0 ?
là c'est que la première inégalité .
sinon , 2-f(x)= (2-x)1/1+e^x et Un+1=f(Un)