Ensemble de définition

[Floria]

Bonjour,
J'ai une question tellement bête que j'en ai un peu honte, mais là ça me perturbe trop il me faut une réponse!

Alors voilà, j'ai une fonction . À priori, donc, elle n'est pas définie en x=9; son ensemble de définition est R\{9}

Seulement, on constate que . Dès lors, il n'y a plus de problème en x=9, donc la fonction est définie sur R.

C'est pourtant la même fonction. Comment l'ensemble de définition peut-il être différent?
J'ai essayé de les tracer sur géogébra; ce sont bien les mêmes fonctions sauf que la première fait un "saut" en 9 (elle n'est pas définie en x=9) et la seconde non. Et je n'arrive pas à comprendre comment on peut justifier ça.

Si quelqu'un a une explication mathématiquement correcte de cette histoire, ce serait bien aimable. Ce truc commence à me retourner le cerveau, alors que pourtant ça a l'air si simple!
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[shezone]

Bonsoir

c'est juste que tu écris des fonctions différemment , par exemple f(x) = sqrt(x) sqrt(x) = x pourtant f est définie de R(+) dans R(+).
Ta fonction étant défini comme ça , elle a des valeurs interdites mais on pourrait en effet la reconstruire et appeler la nouvelle fonction g comme tu l'as fait et Dg serait diffèrent de Df .

cdt

[PlaneteF]

Bonsoir,

C'est pourtant la même fonction.

Justement non, il s'agit de 2 fonctions différentes qui n'ont pas le même domaine de définition.

Cordialement

[Floria]

Mais elle sont égales! Est-ce que je n'ai pas le droit d'écrire sous prétexte que ça change son espace de définition? L'égalité est pourtant vraie.
Et donc si par exemple j'ai la fonction f(x)=1, ce n'est pas la même que parce qu'elles sont égales mais que leur ensemble de définition est différent? Est-ce qu'on a quand même le droit d'écrire f(x)=h(x)? Ou alors il faut se limiter à R*, dire que f et h sont égales sur R*?
Mais du coup, à chaque fois qu'on essaye de simplifier l'écriture d'une fonction il faut vérifier que les ensembles de définition restent les mêmes pour pouvoir choisir une écriture plutôt qu'une autre quand on étudie la fonction?

Ouf. Je crois que je commence à saisir. Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Mais elle sont égales!

Non, attention à ne pas confondre graphe d'une fonction, et fonction. On a bien deux fonctions différentes qui n'ont pas le même graphe. Dans ton premier cas ne fait pas partie du graphe de la fonction, dans le second cas fait partie du graphe de la fonction.

Cdt

[shezone]

Soient f et g deux fonctions définies sur I = ℝ par
f(x) = x et g(x) = x²/x

Les domaines de définition de f et g sont D f =ℝ et Dg=ℝ∖{0} .
Dores et déjà, ces deux fonctions ne sont pas égales sur ℝ , puisque pour x = 0,
f(0)=0 et g(0) n'existe pas !
Alors que, sur ℝ∖{0} ou tout intervalle ou réunion d'intervalles I de ℝ∖{0} , on a
bien : 0 ∉ I donc pour tout 0 ∈ I : f(x) = x et g(x) = x²/x = x donc f(x) = g(x).
Conclusion. Les deux fonctions f et g ne sont pas égales sur ℝ , mais elles sont
égales sur ℝ∖{0} ou tout intervalle ou réunion d'intervalles I de ℝ∖{0}


Soit I un intervalle de ℝ . Soient f et g deux fonctions définies sur I.
On dit que les fonctions f et g sont égales sur I si et seulement si :
Pour tout x ∈ Ι : [ f(x) = g(x) ]
On note alors : f = g sur I

cdt

[Tryss2]

Dit autrement, deux fonctions sont égales si :
- elles ont même ensemble de définition
- elles ont même ensemble d'arrivée
- leur graphe est identique

Ces trois fonctions ne sont pas formellement identiques :





Ceci dit, on peut prolonger f par continuité pour obtenir g, et restreindre le codomaine de g pour obtenir h, donc c'est presque pareil

[PlaneteF]

Non, attention à ne pas confondre graphe d'une fonction, et fonction. On a bien deux fonctions différentes qui n'ont pas le même graphe. Dans ton premier cas ne fait pas partie du graphe de la fonction, dans le second cas fait partie du graphe de la fonction.

Je vais même être plus précis que cela car il faudrait en toute rigueur préciser l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée de la fonction : En effet une fonction c'est un triplet (ensemble de départ, ensemble d'arrivée, graphe). Donc l'égalité de 2 fonctions c'est l'égalité de 2 triplets, c'est-à-dire même ensemble de départ, même ensemble d'arrivée et même graphe.

Cdt

Edit : Croisement avec Tryss2.

[Floria]

Soit I un intervalle de ℝ . Soient f et g deux fonctions définies sur I.
On dit que les fonctions f et g sont égales sur I si et seulement si :
Pour tout x ∈ Ι : [ f(x) = g(x) ]
On note alors : f = g sur I

Ok. C'est bien ce que je commençais à voir, mais là c'est dit correctement! Merci à tous, c'est plus clair maintenant.