définition d'ensemble

[invite371ae0af]

bonjour,
pouvez vous me dire quels sont les éléments de l'ensemble (Z/3Z)²
et comment vous faites pour les trouver
quand c'est juste du R².. pas de problème mais quand c'est un ensemble quotient j'ai du mal


merci de votre aide
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[invitefa064e43]

ben est-ce que tu sais ce que sont les éléments de Z/3Z pour commencer ?

[invite371ae0af]

non justement

[invite332de63a]

Bonjour, Z/3Z c'est l'ensemble des classes d'équivalence pour la relation "congru modulo 3". Donc deux éléments de Z sont dans la même classe d'équivalence si ils sont congrus ensembles modulo 3. Combien de congruences différentes peut on avoir modulo 3 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefa064e43]

bon, je fais simple, ce sont les nombres entiers "modulo 3".

Formellement, ce sont des classes d'équivalence. C'est un peu long à expliquer, et je n'en ai pas le courage, mais en gros :

imagine que tu as des nombres entiers. Tu ne regardes que le reste de la division par 3.

(mod 3)
(mod 3)
(mod 3)
(mod 3)
(mod 3)
(mod 3)
etc...

et si tu ajoutes ensemble des nombres entiers, leur "classse modulo 3" sera l'addition des classes (modulo 3)

(les classes de 1 et 4)

donc on a une règle pour additionner les classes modulo 3.
C'est idem pour la multiplication par un entier.

Bien sûr je dis ça vite fait, le mieux est un cours complet avec exemple, développement, etc...

mais au final, c'est un ensemble où il y a que 3 éléments (les classes) :

je mets les crochets [] care ce sont des classes, mais souvent on les omet.

alors après, ce sont les "couples" (ou vecteurs à 2 éléments) (x;y) t.q. x et y sont dans

[invite371ae0af]

mais pourquoi n'y a t il que 0,1,2
comment à tu fais pour ne trouver que ces 3 nombres
puisque plus haut tu cherchais les entier congru à 3, il y en a une infinité non?

[invite57a1e779]

Bonjour,

Les éléments de Z/3Z ne sont pas des nombres, mais des ensembles, les classes d'équivalences modulo 3.

Ce sont, avec les notations de lioobayoyo :
[0]=0+3Z=3Z
[1]=1+3Z
[2]=2+3Z

Tout entier n est de la forme 3q+r avec r compris entre 0 et 2 (division euclidienne de n par 3), donc appartient à [r].

[Seirios]

Bonjour,

Pour commencer, quelle définition donnes-tu à ?

[invite371ae0af]

je sais juste que c'est un ensemble quotient.
en faites au départ mon prof m'avait donné cette question:
combien de bases y a t il dans (Z/3Z)²?

[Seirios]

Dans ce cas la réponse de God's Breath devrait te faire comprendre ce qu'est .
Ensuite, pour répondre à ta question, une première chose serait de déterminer la dimension de ton espace.

[invite371ae0af]

il est de dimension 2 et il y a 48 bases
en faites ce qui me dérangeait c'était l'ensemble
par exemple pour Z/4Z
les éléments serait 0,1,2,3

[invite57a1e779]

combien de bases y a t il dans (Z/3Z)²?

Cette question suppose un contexte d'algèbre linéaire.
Il faut donc disposer d'une structure d'espace vectoriel sur E=(Z/3Z)².
Cela nécessite de savoir sur quel corps on travaille.

Il faut donc reprendre le cours d'arithmétique, revoir la définition de Z/nZ, la caractérisation des nombres premiers par : p est premier si, et seulement si, Z/pZ est un corps.

Tu t'aperçois alors que, dans ton cas, tu dois considérer des espaces vectoriels sur le corps K=Z/3Z, et ton espace vectoriel est simplement le plan E=K², de dimension 2.

Une famille (u,v) d'éléments de E, donc u=(x,y) et v=(x',y') avec x, y, x' et y' appartenant à Z/3Z, est une base si, et seulement si, elle est libre, c'est-à-dire u est non nul et v est non colinéaire à u, ce qui te permet de lister toutes les bases de E.