Structure géométrique

[invite47ecce17]

Bonjour,
Pour faire un petit fil rouge de vacances, voici quelques questions/interrogrations/reflexions un peu vagues, mais qui me trottent dans la tête depuis pas mal de temps ( ici par exemple) sur la discrimination des objets géométriques parmi les objes topologiques.
Etant surtout interessée par la géométrie differentielle, j'ai lorgné récément sur ce qu'il se fait chez les voisins d'à coté i.e les géométres complexes/algébristes, et je fut veritablement surprise de découvrir la richesse des structures additionnelles que possède naturellement la cohomologie de leurs objets (et frustrée également par le fait que je suis pas capable de comprendre les considérations qui permettent de les mettre en évidence ).
Notament, il y a un phénomène tres interessant: la structure de Hodge sur la cohomologie rationelle d'une variété analytique complexe qui soit compacte, Khalerienne et lisse.
Je suis tres loin de comprendre les details de la théorie, mais de ce que j'en sais, la structure complexe, se traduit par la donnée d'un (champ) d'operateur differentiels (le fameux "d barre") qui se traduit par une filtration sur la cohomologie de la variété (tensorisée par C), qui depend de la structure complexe.
Ma question est vague et generale, peut on transposer de telles constructions au cas des variétés differentiables réelles? Des variétés Riemanniennes?

Ce dernier cas me parait favorable, car on possède la aussi un opérateur differentiel privilégié, la connexion.

Peut on discriminer parmi les espaces topologiques ceux qui proviennent de variétés differentiables uniquement en regardant ses structures spéciales sur la cohomologie? (il y a deja des faits basiques, qui permettent de faire un premier tri grossier, par exemple le fait que les groupes de cohomologie doivent etre de type finis sur Z, et du moins dans le cas compact, présenter une dualité de Poincaré).

Peut on faire varier la structure Riemanienne au sein d'une meme classe de diffeo de variété diff (par la je veux dire, peut on la paramétrer convenablement, par une variété de dimension finie)?

Bon, je vais e pencher sur ces questions pendant mes vacances, et je dirait ici si je progresse ou pas dans ma conaissance de ces choses là, qui me paraissent véritbalement passionantes!! N'hesitez pas si vous avez des questions/réponses/commentaires/remarques.

Et Joyeuses Fetes.
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[invitecbade190]

Bonjour,

Tu es entrain de te lancer dans un monde qui m'est très chère à mon cœur, c'est pratiquement le fond de tous les sujets aux quels je m'intéresse en mathématiques.
Voici ce que je "pourrais" t'éclaircir sur les points que tu cites, car, moi aussi je suis un simple apprenti qui apprend ces choses là de manière individuelle et loin du monde académique :

Je suis tres loin de comprendre les details de la théorie, mais de ce que j'en sais, la structure complexe, se traduit par la donnée d'un (champ) d'operateur differentiels (le fameux "d barre") qui se traduit par une filtration sur la cohomologie de la variété (tensorisée par C), qui depend de la structure complexe.

C'est le passage de la cohomologie de DeRham à la cohomologie de Dolbeault ( le complexe qui en fait l'objet est celui le plus simploe, celui qui correspond à un fibré holomorphe trivial ). En d'autres termes, lorsqu'on tonsorise la cohomologie de Derham réelle par , on obtient la cohomologie de Dolbeault, et de la même manière qu'on scinde la cohomologie de Dolbeault sous forme de sous espaces propres ( par une sorte de diagonalisation implicite de la structure complexe : , on peut aussi scinder l'operateur de differentiation d lorsque l'on tensorise par , on obtient : et .

Ma question est vague et generale, peut on transposer de telles constructions au cas des variétés differentiables réelles? Des variétés Riemanniennes?

Oui, c'est l'objet de la théorie de DeRham.
La théorie de Derham traite le cas des variétés réelles.
La théorie de Hodge traite le cas complexe.
La théorie de Tate traite le cas des variétés sur des corps abstraites ( schémas / variétés algébriques / champs algébriques ... ) Oublie les champs algébriques, car, ils ne sont pas utilise lorsqu'on se penche à résoudre certains fameux énigmes tels la conjecture de Hodge qui le précurseur de toutes ces théories )

Ce dernier cas me parait favorable, car on possède la aussi un opérateur differentiel privilégié, la connexion.

La connexion est surtout utile pour étudier la cohomologie de fibrés ( ou faisceaux cohérents : quasi cohérents lorsqu'on remplace le mot connexion par système local )

Peut on discriminer parmi les espaces topologiques ceux qui proviennent de variétés differentiables uniquement en regardant ses structures spéciales sur la cohomologie? (il y a deja des faits basiques, qui permettent de faire un premier tri grossier, par exemple le fait que les groupes de cohomologie doivent etre de type finis sur Z, et du moins dans le cas compact, présenter une dualité de Poincaré).

Pour la théorie de Hodge c'est l'objet de la conjecture de Hodge, il n'est pas encore résolu à nos jours, c'est un problème ouvert qui est l'ultime but de la géométrie algébrique à coté de la conjecture de Tate. Même Grothendieck n'y'a pas parvenu. sauf qu'ici on discrimine les espaces topologiques non pas par les variétés différentiables ( ou cycles analytiques en toute généralités ), mais par des variétés algébriques ( ou cycles algébriques en toutes généralité ) ...
Pour la théorie de Derham, c'est l'objet du théorème de Derham, la réponse est affirmative dans le cas des variétés réelles ( géométrie différentielle )
Pour la théorie de Tate, c'est l'objet de la conjecture de Tate, il n'est pas encore résolu à nos jours comme la conjecture de Hodge, la cohomologie étudié est la cohomologie étale ( ça demande un peu une longue explication ( pas trop longue quant même ) ).

Peut on faire varier la structure Riemanienne au sein d'une meme classe de diffeo de variété diff (par la je veux dire, peut on la paramétrer convenablement, par une variété de dimension finie)?

Il faut que je comprennes la question et dans quel contexte elle est donnée.

[invitecbade190]

Peut on faire varier la structure Riemanienne au sein d'une meme classe de diffeo de variété diff (par la je veux dire, peut on la paramétrer convenablement, par une variété de dimension finie)?

Varier au sein d'une même classe de diffeo consiste à faire opérer ou co-opérer un ... je ne sais pas ... groupes algébriques / schémas en groupes / algèbres de Hopf / groupe de Lie sur des variétés ... celà n'a rien à avoir avec ce qu'on a dit au départ. Voiçi ce qui se passe en théorie de Hodge. En théorie de Hodge on fait l'étude de la variation ou paramétrisation dans le cadre ce qu'on appelle la variation de la structure de Hodge. C'est à dire, on a une cohomologie définie non pas sur une variété mais sur une famille de variété parametré par une autre variété ( la plupart du temps sur une variété plongé sur un espace projectif ) muni d'une paramétrisation de la famille des faisceaux qui l'accompagne. On a une paramétrisation et muni d'un faisceau , par un pullback, on muni chaque fibre de par d'un faisceau induit par celui de , on obtient ainsi une famille de faisceaux une par fibres., puis on passe à l'étude cohomologique pour obtenir cette fois çi une famille de cohomologie dont les complexes ne sont que les foncteur dérivées superieurs de chaque élément de la famille des faisceaux : .

[invitecbade190]

Juste une petite précision :
Pour ne pas créer de confusion dans les esprits, au début, j'ai parlé du scindage de qui aboutit à l'obtention de et , Lorsqu'on dit et , on entend : et , c'est à dire que : par la tensorisation par , du se projette dans le scindage : , et se divise en colonnes de et lignes de , dans toutes les lignes, \partial reste constante, et dans toutes les colonnes, est constante, c'est pourquoi, on n'a que deux : et . Les gens ont l'impression que le projeté de par donne une infinité d'opérateurs : .. En fait, non, comme je viens d’expliquer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93e0873f]

Bonjour,

Bonjour,
Pour faire un petit fil rouge de vacances, voici quelques questions/interrogrations/reflexions un peu vagues, mais qui me trottent dans la tête depuis pas mal de temps ( ici par exemple) sur la discrimination des objets géométriques parmi les objes topologiques.
Etant surtout interessée par la géométrie differentielle, j'ai lorgné récément sur ce qu'il se fait chez les voisins d'à coté i.e les géométres complexes/algébristes, et je fut veritablement surprise de découvrir la richesse des structures additionnelles que possède naturellement la cohomologie de leurs objets (et frustrée également par le fait que je suis pas capable de comprendre les considérations qui permettent de les mettre en évidence ).
Notament, il y a un phénomène tres interessant: la structure de Hodge sur la cohomologie rationelle d'une variété analytique complexe qui soit compacte, Khalerienne et lisse.
Je suis tres loin de comprendre les details de la théorie, mais de ce que j'en sais, la structure complexe, se traduit par la donnée d'un (champ) d'operateur differentiels (le fameux "d barre") qui se traduit par une filtration sur la cohomologie de la variété (tensorisée par C), qui depend de la structure complexe.
Ma question est vague et generale, peut on transposer de telles constructions au cas des variétés differentiables réelles? Des variétés Riemanniennes?

Ce dernier cas me parait favorable, car on possède la aussi un opérateur differentiel privilégié, la connexion.

C'est le passage de la cohomologie de DeRham à la cohomologie de Dolbeault ( le complexe qui en fait l'objet est celui le plus simploe, celui qui correspond à un fibré holomorphe trivial ). En d'autres termes, lorsqu'on tonsorise la cohomologie de Derham réelle par , on obtient la cohomologie de Dolbeault, et de la même manière qu'on scinde la cohomologie de Dolbeault sous forme de sous espaces propres ( par une sorte de diagonalisation implicite de la structure complexe : , on peut aussi scinder l'operateur de differentiation d lorsque l'on tensorise par , on obtient : et .

Je « réponds » à ces deux passages simultanément.

Tensoriser la cohomologie de De Rham par (sur ) est toujours possible, et donne seulement lieu à la cohomologie de De Rham complexe . Les deux complexes contiennent plus ou moins la même information et s'appliquent à toutes les variétés différentielles.

Dans le cas d'une variété différentielle munie d'une structure presque complexe (), il y a moyen de décomposer le fibré tangent complexe comme somme directe de deux fibrés, ces fibrés étant les « fibrés propres » de l'opérateur . Cette décomposition en induit une similaire dans tous les fibrés en sommes directes de sous-fibrés (chacun déterminé par la spécification de l'annulation sur les deux sous-fibrés de , par exemple « la k-forme s'annule dans son premier argument sur le premier sous-fibré, s'annule dans son deuxième argument sur le second sous-fibré, etc.). Par conséquent, cela induit une décomposition du complexe de De Rham (complexe) .

Cela soulève la question : comment la différentielle de De Rham se comporte-t-elle par rapport à cette décomposition du complexe ? En général, pas si bien, car la différentielle de De Rham étudie la structure différentiable de la variété, et la structure presque complexe est plutôt ad hoc à cet égard.

Par contre, lorsque la structure presque complexe satisfait une condition d'intégrabilité (à savoir l'annulation du tenseur de Newlander-Nirenberg), on dit que la structure est complexe. C'est le point de vue du géomètre différentiel ; pour le géomètre complexe, cela correspond précisément au cas où la variété différentielle sous-jacente admet des cartes holomorphes (avec changements de cartes holomorphes), bref quand la variété différentielle est non seulement réelle, mais même complexe. Dans ce cas-là, la structure (presque) complexe s'avère bien plus intimement liée à la structure différentielle de la variété, puisqu'elle s'obtient de cartes holomorphes.

Dans ce cas, la différentielle (du complexe) de De Rham (complexe) se comporte bien par rapport à la décomposition induite par la structure complexe : la différentielle de De Rham s'écrit avec et . Les complexes de Dolbeault sont (pour les divers p) les . Il s'agit d'un raffinement du complexe de De Rham complexe.

N'importe quelle variété lisse admet une métrique riemannienne (non canonique), et cette métrique induit une connexion (canonique du point de vue riemannien) qui est celle de Levi-Civita. La présence d'une structure presque complexe sur une variété lisse détermine une classe canonique de métriques riemanniennes (sans déterminer une métrique canonique) : les structures presque complexes sont en bijection avec les classes conformes de métriques riemanniennes. En choisissant une métrique dans cette classe, on obtient une variété hermitienne. Ces diverses structures, bien que dans un sens compatibles entre elles, peuvent « mal cohabiter ». Même lorsque la structure presque complexe est intégrable, les structures peuvent « mal cohabiter ».

Le cas kählérien est celui où la cohabitation va à merveille. La structure intégrable et la structure riemannienne détermine chacune une connexion spéciale, à savoir la connexion de Chern et la connexion de Levi-Civita, qui coïncident « précisément » (dans un sens approprié) lorsque la variété hermitienne est en fait kählérienne.

Hodge a développé sa théorie dans le cas riemannien, ramenant l'étude du complexe de De Rham à l'étude du laplacien. Il y a probablement une manière d'obtenir une théorie plus fine dans le cas hermitien intégrable, en appliquant la théorie de Hodge au complexe de Dolbeault ; mais « l'harmonie » des diverses structures du cas kählérien rend l'approche de Hodge très instructive. On obtient ce faisant une décomposition très fine du complexe de De Rham (complexe), décomposition résumée par le diamant de Hodge. C'est l'excellente collaboration de toutes les structures qui font du cas kählérien un cas si spécial : on oublie la métrique, l'intégrabilité ou la « condition symplectique » (disons l'égalité des deux connexions) et on obtient des objets potentiellement bien moins contraints.

Peut on discriminer parmi les espaces topologiques ceux qui proviennent de variétés differentiables uniquement en regardant ses structures spéciales sur la cohomologie? (il y a deja des faits basiques, qui permettent de faire un premier tri grossier, par exemple le fait que les groupes de cohomologie doivent etre de type finis sur Z, et du moins dans le cas compact, présenter une dualité de Poincaré).

C'est une question intéressante, mais assurément difficile, dont je ne peux discuter que superficiellement.

Juste la distinction entre « variété topologique » et « variété différentielle » est difficile et profonde, comme en témoignent par exemple les travaux de deux médaillés Fields « simultanés », Freedman et Donaldson. Ceci dit, Donaldson a effectivement trouvé une structure algébrique sur la cohomologie des 4-variétés différentielles qui n'existe pas pour la cohomologie de toute 4-variété topologique.

J'ai aussi la bien vague impression que les espaces difféologiques compliquent la tâche de distinguer les variétés lisses des espaces topologiques généraux, puisqu'ils me semblent interpoler de manière graduelle entre les variétés lisses (des espaces difféologiques très peu pathologiques) et les espaces topologiques les plus pathologiques. Ceci dit, cette graduation aide peut-être à mettre le doigt sur la distinction, puisqu'il y a une structure de plus à étudier et à classifier (à savoir la difféologie).

Peut on faire varier la structure Riemanienne au sein d'une meme classe de diffeo de variété diff (par la je veux dire, peut on la paramétrer convenablement, par une variété de dimension finie)?

J'ai plusieurs interprétations de cette question : voici des commentaires pour diverses interprétations.

Juste sur une variété différentielle fixe, l'espace des métriques riemanniennes est de dimension infinie.

Quant à la classe de difféomorphisme, je ne sais pas si elle admet en général une topologie la rendant connexe, probablement une condition essentielle pour que la question se pose... Par contre, si c'est le cas, alors les structures métriques forment ensemble un fibré, de fibre (de dimension infinie) contractile et admettant probablement même une structure de complexe CW. Sauf erreur dans les hypothèses, un fibré dont les fibres sont des complexes CW contractiles admet toujours une section (un résultat du genre, peut-être moins général, tient assurément).

Là, pour ce qui est de l'espace de ces sections...

[invitecbade190]

Merci pour ton pavé intéressant Universus, il m'a appris énormément de choses.
ça serait génial qu'on puisse échanger sur ce sujet sur ce forum, et que chacun dévoile sa manière de voir les choses, et pourquoi pas collaborer ensemble pour en apprendre davantage.
Cordialement.

[stefjm]

Merci pour ton pavé intéressant Universus, il m'a appris énormément de choses.

[HS A virer sans état d'âme si considéré trop HS par MiPaMa ou la modération.]
J'espère que c'est la définition mathématique de pavé que tu avais en tête et pas la définition typographique.

TYPOGR. Alignement caractérisé par l'absence de renfoncé en début et en fin d'alinéa; composition massive, sans alinéa. Le «pavé» est souvent limité à la composition de textes ne comportant qu'un seul alinéa et aux titres qui s'y prêtent.

J'espère ne pas rester sur le pavé après avoir lancer un pavé dans la mare et que ce pavé ne me restera pas au cou ou sur l'estomac.

Et surtout, puisse n'avoir pas jeter un pavé de l'ours.

Dédicace spéciale à azizovsky http://www.cnrtl.fr/lexicographie/pav%C3%A9

[invitecbade190]

La connexion est surtout utile pour étudier la cohomologie de fibrés ( ou faisceaux cohérents : quasi cohérents lorsqu'on remplace le mot connexion par système local )

Une chose que j'ai oublié :
L'équivalent de la notion de connexion dans le monde des faisceaux, est la connexion de Gauss-Manin si mes souvenirs sont bon, et le monde dans lequel s'exprime tout ce langage est le monde des système locaux. Il faut que je revois mes cours, parce que j'ai oublié tout un tas de choses.

[invite47ecce17]

Tensoriser la cohomologie de De Rham par (sur ) est toujours possible, et donne seulement lieu à la cohomologie de De Rham complexe . Les deux complexes contiennent plus ou moins la même information et s'appliquent à toutes les variétés différentielles.
(...)
Hodge a développé sa théorie dans le cas riemannien, ramenant l'étude du complexe de De Rham à l'étude du laplacien. Il y a probablement une manière d'obtenir une théorie plus fine dans le cas hermitien intégrable, en appliquant la théorie de Hodge au complexe de Dolbeault ; mais « l'harmonie » des diverses structures du cas kählérien rend l'approche de Hodge très instructive. On obtient ce faisant une décomposition très fine du complexe de De Rham (complexe), décomposition résumée par le diamant de Hodge. C'est l'excellente collaboration de toutes les structures qui font du cas kählérien un cas si spécial : on oublie la métrique, l'intégrabilité ou la « condition symplectique » (disons l'égalité des deux connexions) et on obtient des objets potentiellement bien moins contraints.

Merci pour ce rappel. En fait, ce qui m'ennuie dans tout ca (ou plutot ce qui me titille), c'est que l'on a besoin pour construire la theorie de la structure presque complexe. Ca exclut de facto beaucoup de variété differentielles réelles.

En fait ma vision de la chose est quelque peu differente. Si l'on regarde les objets les plus "structurés" qui soient. Les variétés algébriques projectives (complexes), alors elles ont toute cette riche structure, donnée par la filtration de Hodge (dans le cas lisse) et par le poids (dans le cas singulier ou ouvert) qui structurent tres fortement la cohomologie. Regardons uniquement le cas projectif lisse pour simplifier.

On peut bien sur construire la décomposition de Hodge de la façon que tu as indiqué, d'ailleurs cette construction ne se limite pas au cas projectif, mais elle reste vrai dans le cas khalerien. On peut aussi la construire de façon purement algébrique. D'ailleurs ce qui est frappant, c'est que via la construction dont tu parles la décomposition de Hodge s'obtient essentiellement via l'identification de la cohomologie avec les n-formes harmoniques. MAIS, la décomposition elle meme ne depend pas du choix de la métrique Kahlerienne, alors qu'elle est pourtant essentielle, ne serait ce que pour parler de formes harmoniques. En quelque sorte, les choix métriques permettent de mettre en lumière la décomposition de Hodge, mais celle ci est plus "primitive".

Je trouve ca extremement etonnant, que le saut de holomorphe à lisse fasse perdre quasiment tout, et qu'il ne reste que des structures "lisant" seulement le type d'homotopie.
Bien sur c'est pas tout à fait vrai. On a la dualité de Poincaré. On a aussi le theoreme de la signature. Mais je trouve ca un peu "maigre" (mais c'est peut etre que je sous estime la contrainte apportée par la structure holomorphe).

En fait, à ma connaissance, si on essaie d'"imiter" le cas holomorphe et qu'on equippe les variétés differentielles de métrique Riemannienne. La seule chose que la connexion nous apporte, c'est la theorie de Chern-Weil. Mais la aussi c'est un peu déprimant, parce que cohomologiquement, on obtient rien de plus que les classes carracteristiques usuelles, qu'on sait construire sans ca!

C'est une question intéressante, mais assurément difficile, dont je ne peux discuter que superficiellement.

Juste la distinction entre « variété topologique » et « variété différentielle » est difficile et profonde, comme en témoignent par exemple les travaux de deux médaillés Fields « simultanés », Freedman et Donaldson. Ceci dit, Donaldson a effectivement trouvé une structure algébrique sur la cohomologie des 4-variétés différentielles qui n'existe pas pour la cohomologie de toute 4-variété topologique.

Ah! Il faut que je regarde ca!!

J'ai aussi la bien vague impression que les espaces difféologiques compliquent la tâche de distinguer les variétés lisses des espaces topologiques généraux, puisqu'ils me semblent interpoler de manière graduelle entre les variétés lisses (des espaces difféologiques très peu pathologiques) et les espaces topologiques les plus pathologiques. Ceci dit, cette graduation aide peut-être à mettre le doigt sur la distinction, puisqu'il y a une structure de plus à étudier et à classifier (à savoir la difféologie).

J'ignore ce que sont les espaces diffeologiques (meme si j'imagine un peu en te lisant). Disons qu'on pourrait se limiter par exemple au CW complexes finis. C'est une limitation qui me semble bonne, car tout variété diff compacte a le type d'homotopie d'un CW complexe fini. La encore, on a la dualité de Poincaré (pour les variétés orientées), mais c'est pas discriminant.
Il me semble qu'on peut définir des classes de Pontryagin "topologiques" au moins pour les variétés topologiques compactes, et il me semble avoir deja entendu dire que c'etait possible également pour des CW complexes, faudrait que je cherche un peu.
Est ce que le theoreme de la signature est vrai dans ce cas la? Bon et meme là, ca concerne les variétés de dimension un multiple de 4...

Juste sur une variété différentielle fixe, l'espace des métriques riemanniennes est de dimension infinie.

L'espace des métriques est de dimension infini, certes. Mais quid l'"espace" (si tant est qu'il existe) des déformations de la structure métrique sur une variété compacte (fixée) à isométrie pres. Bon j'imagine que ces questions sont tres difficiles (ou alors totalement triviales, mais pas entre les deux ).
Fondamentalement, l'espace des structure presque complexe sur un espace vectoriel fixé, ne me parait pas fondamentalement plus gros que celui des métriques sur cette espace.
Si la compacité d'une variété complexe permet de faire varier la structure complexe dans des espaces de dimensions finis (mais le sont ils, je sais vraiment rien en fait...) pourquoi pas celui des métriques.

Bon je suis bien consciente qu'on résoudra pas ces questions comme ça ici sur un forum. Mais c'est bien interessant d'en discuter en tout cas!

Merci beaucoup pour toutes tes réponses, tres riches!

[invitecbade190]

L'espace des métriques est de dimension infini, certes. Mais quid l'"espace" (si tant est qu'il existe) des déformations de la structure métrique sur une variété compacte (fixée) à isométrie pres. Bon j'imagine que ces questions sont tres difficiles (ou alors totalement triviales, mais pas entre les deux ).

On ne voit pas les choses ainsi j'imagine.
L'espace des métriques n'est pas de dimension infinie, dimension finie ou infinie ... Je ne comprends pas la place de dimension dans cette phrase ... parce que à mon avis, l'espace des métriques est plutôt un faisceau des sections du fibré : avec : est un fibré sur quel on définit les sections ou métriques riemanniennes. non ? Quel sens à la notion de dimension là ?

Edit : Merci pour la clash que tu m'as faite, j'ai passé toute la nuit à écrire un long pavé juste pour toi et pour t'éclairer les choses à ma manière, et aucune réaction de ta part. C'est de la cruauté psychologique au bon sens du terme.

[invite93e0873f]

Bonjour,

@chentouf : En ce qui me concerne, la question est une réflexion sur la géométrie et la topologie différentielles, sur la manière dont ces sujets se situent dans la cadre plus vaste de la géométrie et de la topologie. Je ne doute absolument pas de la pertinence et de l'utilisation d'outils « algébriques » comme ceux que vous mentionnez en géométrie différentielle, mais mon expérience personnelle est que la perspective première des géomètres différentiels est plus « intuitionniste ». Il m'est difficile d'aborder ce genre de question, mais il m'est à peu près impossible d'aborder ce genre de question avec votre perspective, du moins pas dans un premier temps. C'est pourquoi il me serait bien difficile de commenter vos messages, dont la signification m'échappe malheureusement. Je me risque à prétendre qu'il peut en être un peu de même pour MiPaMa (même si je peux témoigner de sa plus grande maîtrise des perspectives « algébriques » que la mienne).

Merci pour ce rappel. En fait, ce qui m'ennuie dans tout ca (ou plutot ce qui me titille), c'est que l'on a besoin pour construire la theorie de la structure presque complexe. Ca exclut de facto beaucoup de variété differentielles réelles.

En fait ma vision de la chose est quelque peu differente. Si l'on regarde les objets les plus "structurés" qui soient. Les variétés algébriques projectives (complexes), alors elles ont toute cette riche structure, donnée par la filtration de Hodge (dans le cas lisse) et par le poids (dans le cas singulier ou ouvert) qui structurent tres fortement la cohomologie. Regardons uniquement le cas projectif lisse pour simplifier.

On peut bien sur construire la décomposition de Hodge de la façon que tu as indiqué, d'ailleurs cette construction ne se limite pas au cas projectif, mais elle reste vrai dans le cas khalerien. On peut aussi la construire de façon purement algébrique. D'ailleurs ce qui est frappant, c'est que via la construction dont tu parles la décomposition de Hodge s'obtient essentiellement via l'identification de la cohomologie avec les n-formes harmoniques. MAIS, la décomposition elle meme ne depend pas du choix de la métrique Kahlerienne, alors qu'elle est pourtant essentielle, ne serait ce que pour parler de formes harmoniques. En quelque sorte, les choix métriques permettent de mettre en lumière la décomposition de Hodge, mais celle ci est plus "primitive".

Je trouve ca extremement etonnant, que le saut de holomorphe à lisse fasse perdre quasiment tout, et qu'il ne reste que des structures "lisant" seulement le type d'homotopie.
Bien sur c'est pas tout à fait vrai. On a la dualité de Poincaré. On a aussi le theoreme de la signature. Mais je trouve ca un peu "maigre" (mais c'est peut etre que je sous estime la contrainte apportée par la structure holomorphe).

En fait, à ma connaissance, si on essaie d'"imiter" le cas holomorphe et qu'on equippe les variétés differentielles de métrique Riemannienne. La seule chose que la connexion nous apporte, c'est la theorie de Chern-Weil. Mais la aussi c'est un peu déprimant, parce que cohomologiquement, on obtient rien de plus que les classes carracteristiques usuelles, qu'on sait construire sans ca!

[...]

Ah! Il faut que je regarde ca!!

Je ne m'attendais pas à enseigner quoi que ce soit avec mon message précédent, mais je jugeais bon de rappeler certaines constructions.

Le sens plus précis de votre question m'avait échappé. Vous évoquez la structure de Hodge « abstraite », dont je connais bien peu de chose, surtout du point de vue d'un géomètre algébrique.

Pour ce que j'en sais, ce semble être un phénomène à peu près universel qu'une théorie cohomologique détecte bien moins que ce qui a été utilisé pour la définir. Évidemment, l'approche cohomologique en est une d'oubli ; ce qui est plus surprenant est qu'il semble bien ardu d'obtenir des cohomologies exceptionnelles. Bref, bien que le sens profond à la chose m'échappe, de la même manière que la cohomologie de De Rham ne perçoit vraiment que les aspects topologiques (non différentiels) d'une variété pourtant lisse, je ne suis pas surpris que la décomposition de Hodge de ladite cohomologie d'une variété kählérienne ne dépende pas de la structure kählérienne précise.

Il est vrai que la théorie de Hodge et la théorie de Chern-Weil ont pour objectif initial de trouver des représentants à des classes de cohomologie à l'aide de structures additionnelles évidemment arbitraires pour la cohomologie elle-même. Par contre, ces théories ont un plus grand potentiel que de simplement atteindre cet objectif initial. La théorie de Chern-Weil est une théorie cherchant à étudier une variété lisse via les connexions possibles sur ses fibrés ; les travaux de Donaldson ont tiré profit de cette perspective plus riche afin de mettre en évidence des phénomènes plus fins que la simple cohomologie comme complexe d'espaces vectoriels, par exemple via l'étude des solitons. Nous n'en sommes plus qu'à l'idée que le complexe de De Rham, étant isomorphe à l'homologie singulière réelle, provient d'une structure plus primitive (la topologie) que la structure différentielle.

Les travaux de Thom sur les cobordismes ont révélé des structures plus fines que le type d'homotopie ; la périodicité de Bott met en évidence des propriétés homotopiques plus spécifiques aux groupes de Lie ; les torsions de Reidemeister et de Ray-Singer sont des invariants seconds qui sont plus fins que le type d'homotopie. Ce sont toutes des choses que je ne connais pratiquement pas, mais dont l'existence me semble révélatrice d'une chose : la perspective du géomètre différentiel en est une où les structures introduites sont mises à profit petit à petit, contrairement au géomètre algébrique qui utilise certaines structures « primitives » « dès le départ » (mais qui doit probablement peiner à identifier des structures plus fines).

L'espace des métriques est de dimension infini, certes. Mais quid l'"espace" (si tant est qu'il existe) des déformations de la structure métrique sur une variété compacte (fixée) à isométrie pres. Bon j'imagine que ces questions sont tres difficiles (ou alors totalement triviales, mais pas entre les deux ).

Vous voulez parler de varier dans le quotient de l'espace des métriques sur la variété par le groupe des difféomorphismes de la variété ? Ce quotient est probablement encore de dimension infinie : la construction de la courbure scalaire d'une métrique est une construction équivariante pour l'action du groupe des difféomorphismes. Le quotient est certainement de dimension infinie ; je ne sais pas si l'application R est surjective, mais son image doit probablement être assez grosse (puisqu'un métrique se perturbe comme nous le souhaitons localement).

Évidemment, même s'il est de dimension infinie, il est toujours possible de considérer des sous-espaces de dimension finie.

Fondamentalement, l'espace des structure presque complexe sur un espace vectoriel fixé, ne me parait pas fondamentalement plus gros que celui des métriques sur cette espace.
Si la compacité d'une variété complexe permet de faire varier la structure complexe dans des espaces de dimensions finis (mais le sont ils, je sais vraiment rien en fait...) pourquoi pas celui des métriques.

Je pense que c'est assez subtil et que le cas des espaces vectoriels est peut-être trompeur. C'est qu'une variété complexe est plus que la donnée en tout point d'une structure complexe sur l'espace tangent : les structures en des espaces voisins sont fortement corrélées. Ainsi, en général, il y a beaucoup moins de structures complexes que de structures presque complexes. C'est à comparer à la différence entre le nombre de métriques Ricci-plates et le nombre de métriques : elle peut-être immense.

Je ne sais pas précisément dans quel contexte s'effectue la variation de la structure de Hodge, mais si elle demeure dans le cadre des variétés complexes, il ne m'apparaît pas trop étonnant que les variations soient limitées.

Bon je suis bien consciente qu'on résoudra pas ces questions comme ça ici sur un forum. Mais c'est bien interessant d'en discuter en tout cas!

Assurément !

[invitecbade190]

Vous voulez parler de varier dans le quotient de l'espace des métriques sur la variété par le groupe des difféomorphismes de la variété ? Ce quotient est probablement encore de dimension infinie : la construction de la courbure scalaire d'une métrique est une construction équivariante pour l'action du groupe des difféomorphismes. Le quotient est certainement de dimension infinie ; je ne sais pas si l'application R est surjective, mais son image doit probablement être assez grosse (puisqu'un métrique se perturbe comme nous le souhaitons localement).

@Universus :
Pour ce que je comprends suite à ton votre dernier message ... Une métrique riemannienne est une section "globale" de . Ce serait géniale que tu puisses ou que quelqu'un puisse me dire pourquoi c'est une section globale et qu'on ne peut pas inclure des sections locales aussi dans l'espace des métriques de la variété. Cela relève du langage des faisceaux il me semble, outil très répandu en géométrie algébrique, et très peu utilisé en topologie ou en geo. diff. Je ne sais pas si tu puisses m'aider là dessus. Parfois les sections ont du mal à se recoller, j'imagine qu'on peut se heurter à des situations où on ne peut pas trouver de section globale qui peut jouer le role d'une métrique riemmannienne. Mes idéees sont un peu éparpillé dans tous les sens, je n'arrive pas les mettre en ordre et voir plus claire les choses.

ce que j'explique à toi et à tout le monde sur le forum n'est pas exempté d'erreurs ...
J'ai vu ton profil du forum Universus, et je dois t'avouer une chose pour que les choses soient claires. Tu es doctorant en mathématiques ce qui n'est pas mon cas, et il faut que tu comprennes que mon niveau est même loin d'être celui d'un doctorant même si j'y fait semblant ... A vrai dire, je fait ça par passion pour les mathématiques et non pour autres choses ... pour échanger et pour améliorer mon niveau de compréhension même si je fais ça de manière informelle.

[invite93e0873f]

@Universus :
Pour ce que je comprends suite à ton votre dernier message ... Une métrique riemannienne est une section "globale" de . Ce serait géniale que tu puisses ou que quelqu'un puisse me dire pourquoi c'est une section globale et qu'on ne peut pas inclure des sections locales aussi dans l'espace des métriques de la variété. Cela relève du langage des faisceaux il me semble, outil très répandu en géométrie algébrique, et très peu utilisé en topologie ou en geo. diff. Je ne sais pas si tu puisses m'aider là dessus. Parfois les sections ont du mal à se recoller, j'imagine qu'on peut se heurter à des situations où on ne peut pas trouver de section globale qui peut jouer le role d'une métrique riemmannienne. Mes idéees sont un peu éparpillé dans tous les sens, je n'arrive pas les mettre en ordre et voir plus claire les choses.

Le langage des faisceaux est utile en géométrie et en topologie différentielle, mais il est possible de se rendre assez loin dans la théorie sans forcément l'aborder, ou du moins sans utiliser plus que les notions de base.

Il y a très peu d'obstruction à l'existence d'une métrique, c'est-à-dire à l'existence d'une section globale du fibré . C'est même plus général : soient un espace topologique Hausdorff localement homéomorphe à un certain et un fibré vectoriel (localement trivialisable) de rang k. Si le fibré est numérable, c'est-à-dire s'il peut être trivialisé par un recouvrement localement fini de M sur lequel on peut définir une partition de l'unité, alors le fibré admet une métrique. En particulier, si M est paracompacte (dans quel cas on dit qu'il s'agit d'une variété topologique), alors tout fibré vectoriel est numérable et donc tout fibré admet une métrique. Le cas du plan tangent à une variété différentielle est un cas particulier.

La raison est assez simple. Il est facile de définir une métrique sur un fibré trivial, de sorte que tout fibré vectoriel (localement trivialisable) admet localement une métrique. Évidemment, il n'y a aucune raison pour que les métriques provenant de deux trivialisations distinctes coïncident. Par contre, l'espace des produits scalaires sur un espace vectoriel est un convexe, de sorte qu'une combinaison linéaire convexe finie de produits scalaires est un produit scalaire. Ainsi, dans le cas numérable, en utilisant la partition de l'unité (et le fait que le recouvrement est localement fini), il est possible de faire une combinaison linéaire convexe finie des produits scalaires provenant des diverses trivialisations. Le résultat est une section globalement définie.

Ce fait est la première raison expliquant l'importance de la géométrie riemannienne dans l'étude de la topologie des variétés : n'importe quelle variété différentielle admet une métrique riemannienne, ce qui est loin d'être le cas pour les autres structures auxquelles on peut penser !

ce que j'explique à toi et à tout le monde sur le forum n'est pas exempté d'erreurs ...
J'ai vu ton profil du forum Universus, et je dois t'avouer une chose pour que les choses soient claires. Tu es doctorant en mathématiques ce qui n'est pas mon cas, et il faut que tu comprennes que mon niveau est même loin d'être celui d'un doctorant même si j'y fait semblant ... A vrai dire, je fait ça par passion pour les mathématiques et non pour autres choses ... pour échanger et pour améliorer mon niveau de compréhension même si je fais ça de manière informelle.

Le fait d'être doctorant me place dans un environnement assurément plus propice à l'apprentissage, à la réflexion et à la recherche ; bien que la majeure partie du travail reste du travail personnel, j'ai au moins l'occasion de pouvoir m'y adonner pleinement sans avoir à trop me préoccuper sur la façon de payer mes comptes...

À cette nuance près, il n'y a pas forcément d'autres différences. Certes, je peux facilement assister à un cours sur un sujet que je connais moins, mais ça ne fait pas de moi un expert. Quant à mon domaine de spécialité, on est loin de vouloir me donner les réponses gratuitement. Quant aux domaines dont je ne connais rien, ils me sont tout autant inaccessibles que si je n'étais pas doctorant.

Vous vous adonnez à l'étude de la géométrie algébrique, sujet dont je ne connais pour ainsi dire rien, et qui m'effraie presque. Ce que vous écrivez m'est à un peu près incompréhensible : non pas parce que vous n'êtes pas de mon niveau, mais probablement parce que je ne suis pas du vôtre.

Je sais que la théorie de Hodge est étroitement liée à la géométrie algébrique (complexe), d'où votre attrait pour ce fil. Par contre, mon impression est (à tort ou à raison) que l'allusion dans ce fil de la théorie de Hodge est un secondaire, propice à une analogie/comparaison, l'intérêt principal du fil étant sur l'existence de structures riches et rigides en géométrie différentielle. Aborder cette question depuis la géométrie algébrique, ou ne serait-ce que depuis la géométrie analytique, me semble difficile : il y a des nuances importantes entre le monde réel et le monde complexe, entre le monde lisse (flexible) et le monde analytique (rigide). Cette profonde nuance est à la source de la différence de langage et d'emphase entre les deux mondes. À moins d'être un expert, il est difficile de jouer sur les deux tableaux.

[invitecbade190]

Il y a très peu d'obstruction à l'existence d'une métrique, c'est-à-dire à l'existence d'une section globale du fibré . C'est même plus général : soient un espace topologique Hausdorff localement homéomorphe à un certain et un fibré vectoriel (localement trivialisable) de rang k. Si le fibré est numérable, c'est-à-dire s'il peut être trivialisé par un recouvrement localement fini de M sur lequel on peut définir une partition de l'unité, alors le fibré admet une métrique. En particulier, si M est paracompacte (dans quel cas on dit qu'il s'agit d'une variété topologique), alors tout fibré vectoriel est numérable et donc tout fibré admet une métrique. Le cas du plan tangent à une variété différentielle est un cas particulier.

La raison est assez simple. Il est facile de définir une métrique sur un fibré trivial, de sorte que tout fibré vectoriel (localement trivialisable) admet localement une métrique. Évidemment, il n'y a aucune raison pour que les métriques provenant de deux trivialisations distinctes coïncident. Par contre, l'espace des produits scalaires sur un espace vectoriel est un convexe, de sorte qu'une combinaison linéaire convexe finie de produits scalaires est un produit scalaire. Ainsi, dans le cas numérable, en utilisant la partition de l'unité (et le fait que le recouvrement est localement fini), il est possible de faire une combinaison linéaire convexe finie des produits scalaires provenant des diverses trivialisations. Le résultat est une section globalement définie.

Ce fait est la première raison expliquant l'importance de la géométrie riemannienne dans l'étude de la topologie des variétés : n'importe quelle variété différentielle admet une métrique riemannienne, ce qui est loin d'être le cas pour les autres structures auxquelles on peut penser !

Merci, tu as bien expliqué tout ça, tu as raison ... Ben, voilà, sans échanges avec toi et avec d'autres, je n'aurai pas saisi ça facilement ... c'est pourquoi j'aime bien dialoguer avec les gens ouvertement sur ce genre de choses pour bien saisir le sens globale de ce qu'on rencontre en mathématiques ... Un bouquin, c'est un truc statique, tu ne peux pas échanger avec lui, par contre, lorsqu'on échange avec autrui, ça devient à l'encontre de statique, un truc dynamique, c'est à dire, chacun complète l'autre, et c'est là qu'on peut avancer dans la compréhension ... C'est pourquoi, j'insiste sur le dialogue ... C'est pourquoi, je viens ici pour discuter même si j'avoue que ... je ne sais pas comment qualifier ça ... tu ne peux donner aucun sens à ce que je fais, puisque je n'ai aucun statut qui me définit ... juste un simple curieux attiré par le monde des mathématiques ... voilà ...
J'ai beaucoup apprécié un passage de ton message, c'est lorsque tu as mis une évidence un truc bouleversant, tu as mis une analogie entre la notion de partition de l'unité , et la notion de convexité ... Pour moi, la convexité porte sur des objets très simple tels par exemple un simplexe, un, pilier de base en topologie algébrique qui sert à la construction de toute sorte d'objets ou variétés par triangulation, i.e : approximation par des triangles ou simplexes ... et de l'autre coté, la partition de l'unité qui est une sorte de convexité, à la manière de simplexes, mais c'est un objets analytiques, plus dense que la convexité ... c'est très joli de voir cette analogie entre les deux ... La convexité est inévitable dans la définition des objets mathématiques dans tout espace ( surtout affine ou projective ( vectoriel, je ne sais pas ... )), parce que la convexité, met en interaction ( en relation barycentrique ) tous les constituants de l'objets, chaque point est en interaction avec tous les autres points de l'objet ... dans le cas des simplexes, c'est la convexité normalisé, on prend, pour simplifier le calcul, mais ce n'est pas une priorité ... Donc, à chaque décision, de construire un objet abstait, je pense qu'il faut avoir recours à cette notion de convexité ... c'est très important comme notion ...

Vous vous adonnez à l'étude de la géométrie algébrique, sujet dont je ne connais pour ainsi dire rien, et qui m'effraie presque. Ce que vous écrivez m'est à un peu près incompréhensible ...

Ce sentiment qui te hante résulte du fait que tu te sens perdu dans ce monde qui est nouveau pour toi peut être, et que tu veux vite passer à avoir une idée général et satisfaisant sur la géométrie algébrique, moi aussi je suis encore juste au début, et il me reste beaucoup à découvrir, je suis particulièrement interessé par la théorie de l'intersection qui permet de mettre en pratique la base de la géométrie algébrique et en particulier la conjecture de Hodge que je cherche à comprendre ... La théorie de l'intersection est l'étude ou la classification des objets : variétés algébriques notamment ou schémas, ou schémas de Hilberts ...etc, par un objet qui ressemble à la cohomologie, c'est le groupe ou l'anneau de Chow, l'anneau de chow ou le groupe de chow est l'équivalent des groupes de cohomologies en géométrie algébriques, et on sait que la classification des fibrés en géométrie diff. se fait via les classes caractéristiques : classes de chern, pontryagin, Euler, Thom ... etc, c'est à dire, la même histoire évoqué par MiMaMa en quelques sortes ... Par exemples, les classes de Chern mettent en liaison les classes de fibrés et la cohomologie : ... etc. En théorie de l'intersection, on remplace H^*, par CH^* le foncteur de chow, qui est un objet algébrique contrairement à H^* qui est un objet de nature topologique et géométrique suivant sa première histoire d'apparition .. Aujourd'hui, on peut utiliser H^* à des fins algébriques, surtout depuis l'apparition de l'hypercohomologie et suites spectrales qui donne un cadre très général à l'utilisation de H^* : en topologie, en geo. diff. ou en geo. algébrique ... etc. Bon tout ça reste très vague, mais tu t'en amusera très certainement en découvrant tout ça ... c'est merveilleux ... mais, si tu fais ça de force, sans en sentir l’intérêt et le cadre de beauté de tout ça, tu ne parviendra pas à te sentir à l'aise en géométrie algébrique ... C'est pourquoi, pour avancer, il faut aller non pas derrière les théorèmes et les démonstration, mais principalement derrière pourquoi tel objet a été crée ou inventé, quelle est l'idée derrière l'apparition de tel ou tel objet, il sert à quoi ... Un principe fondamental dans l'esprit de grothendieck, est de parvenir à une généralisation des objets et concepts qu'il utilise ... Pourquoi, parce qu'il sait davantage que s'il parvient à généraliser un objet du haut ( le voir du haut ), il parviendra à tout voir de manière assez claire les choses par la suite ... contrairement lorsqu'on se plonge dans des particularités, on a l'impression de ne rien piger, perdu ... c'est ce qui t'arrive lorsque tu dis que ça t'effraie, parce que tu te lances directement sur des particularités qui n'ont aucun esprit à part la technicité ... c'est anecdotique ... C'est pourquoi, il faut avoir un esprit généraliste ... c'est l'essentiel pour comprendre la géométrie algébrique ... je ne suis pas un expert, mais de mon propre expérience, c'est cet esprit précurseur qui fait que je suis toujours émerveillé et fasciné par la géometrie algébrique, toute la mathématique en fait ...

non pas parce que vous n'êtes pas de mon niveau, mais probablement parce que je ne suis pas du vôtre.

Je considère ce passage juste comme un compliment, et non pour remuer mon ego ... A vrai dire, lorsqu'on est devant un doctorant, on est devant quelqu'un qui mérite du respect ... Tout mes respects à toi ... et inutile de comparer qui est mieux que l'autre ... chacun devrait s'accepter comme il est et bouger pour améliorer les choses, son niveau ... Mais, comparer qui est mieux que l'autre, c'est un jeu d'enfants ...

Je sais que la théorie de Hodge est étroitement liée à la géométrie algébrique (complexe), d'où votre attrait pour ce fil. Par contre, mon impression est (à tort ou à raison) que l'allusion dans ce fil de la théorie de Hodge est un secondaire, propice à une analogie/comparaison, l'intérêt principal du fil étant sur l'existence de structures riches et rigides en géométrie différentielle. Aborder cette question depuis la géométrie algébrique, ou ne serait-ce que depuis la géométrie analytique, me semble difficile : il y a des nuances importantes entre le monde réel et le monde complexe, entre le monde lisse (flexible) et le monde analytique (rigide). Cette profonde nuance est à la source de la différence de langage et d'emphase entre les deux mondes. À moins d'être un expert, il est difficile de jouer sur les deux tableaux.

Je prends note de ce que vous expliquez dans ce grand passage ... Perso, je m’intéresse à la mathématique dans toute sa généralité et non seulement en géométrie algébrique ... même si dernièrement, je suis plus penché sur la géométrie algébrique, que je cherche à finir le plus rapidement possible en survolant les cours dispo sur le net ...

[invitecbade190]

J'ai oublié d'ajouter une petite précision pas trop importante, dans la classification : , on a dit qu'on remplace H^* par CH^*, mais on a oublié de dire aussi qu'on remplace Pic(X) par les classes d'isomorphies de "faisceaux" ( de modules la plupart de temps ). lorsque ( première classe de Chern ), on ne traite, que les faisceaux inversibles, une sorte de fibrés en droites utille pour établir le théorème de Lefschetz (1,1), un cas particulier de la fameuse conjecture de Hodge.
Pour dire tout court, la cohomologie ou les groupes de Chow sont une sorte de Logiciel qui ressemble à un logiciel Sage, en comptabilité qui sert à classifier et archiver les comptes d'inventaires en comptabilité. Comme un système de gestion de base de données, PhP, ou Mysql ... etc. Sauf qu'ici, les données sont de nature mathématiques, géométrique ... etc. c'est ça la mathématiques, la mathématiques n'est autre que la comptabilité qu'une large partie de la population la choisissent pour métier de leur vie. Sauf qu'en mathématiques, il n'y'a pas un moyen de générer de l'argent grâce à la comptabilité mathématique.

[0577]

Bonjour,

quelques remarques sur la différence entre géométrie complexe et géométrie riemannienne:

En géométrie, il y a trois niveaux auxquels on peut se placer, exprimant différentes notions de localité au voisinage d'un point:

1) le niveau infinitésimal (d'ordre un): à ce niveau, la géométrie se réduit à l'algèbre linéaire sur l'espace tangent

2) le niveau local: on considère un "petit" (par exemple contractile) ouvert.

3) le niveau global: on considère une variété dans son ensemble avec sa topologie en général non-triviale. A ce niveau, la différence entre compact et non-compact est en général cruciale.

La question de la comparaison des structures géométriques sur une variété différentielle lisse de dimension n se pose à chacun des niveaux ci-dessus. Au niveau infinitésimal, i.e. de l'algèbre linéaire, il n'y a pas de différence manifeste entre géométrie riemannienne et géométrie complexe. On a deux structures algébriques: une forme quadratique non-dégénéréee définie positive ou un endomorphisme de carré -1, dont les groupes d'automorphismes sont respectivement SO(n, R) et GL(n/2,C). On pourrait considérer plus généralement n'importe quel sous-groupe de Lie G de GL(n,R).

Pour aller au-delà de l'algèbre linéaire, il faut mettre les choses en familles, i.e. faire l'algèbre linéaire sur chacun des espaces tangents. Naturellement associé au fibré tangent, on a le fibré des repères qui est un fibré principal de groupe GL(n,R). Etant donné un sous-groupe G de GL(n,R), une G-structure est la donnée d'une réduction du groupe stuctural du fibré des repères de GL(n,R) à G. Une SO(n,R)-structure est la donnée d'une métrique riemannienne, une GL(n/2,C)-structure est la donnée d'une structure presque complexe. Une G-structure est la mise en famille lisse de structures algébriques: en particulier, il existe toujours beaucoup de G-structures parce qu'on peut les définir localement et recoller les définitions locales à l'aide de partition de l'unité.

Une notion essentielle est l'intégrabilité d'une G-structure: une G-structure est dite intégrable si localement au sens de 2) il existe des coordonnées locales telles que les repères associés des fibrés tangents soient des sections du G-fibré définissant la G-structures. En termes concrets, G est souvent le groupe d'automorphismes d'une structure algébrique sous forme standard et l'intégrabilité signifie qu'il existe des coordonnées telles que la structure algébrique définie sur chaque espace tangent par la G-structure soit sous forme standard. Pour G=SO(n,R), celà signifie qu'il existe des coordonnées locales en lesquelles la métrique riemanienne est à coefficients constants, i.e. que la métrique est plate. Pour G=GL(n/2,C), celà siginifie qu'il existe des coordonnées locales holomorphes, i.e. que le tenseur de Nijenhuis de la structure presque complexe s'annule. Les obstructions à l'intégrabilité, comme la courbure ou le tenseur de Nijenhuis, sont des obstructions à passer simplement de 1) à 2). Ce sont des expressions différentielles en la famille lisse de structures algébriques et construire une G-structure intégrable est donc équivalent, du moins localement, à résoudre une ou des équations aux dérivées partielles. Il n'est donc pas étonnant qu'il y ait moins de G-structures intérgrables que de G-structures. En fait, essentiellement par définition, localement au sens de 2), il existe une unique G-structure intégrable: deux métrique plates sont localement les mêmes, deux variétés complexes sont localement biholomorphes.

Il y a beaucoup de G-structures en général parce qu'une G-structure peut être non-triviale au niveau 2) alors qu'une G-structure intégrable est toujours triviale au niveau 2) et ne peut devenir non-triviale qu'au niveau 3). Dans ce cas, la non-trivialité ne provient que des conditions de recollement de structures localement triviales. Sous des hypothèses de compacité, ces conditions de recollement ne peuvent pas être trop compliquées et l'espace de modules de G-structures intégrables est souvent de dimension finie: sur une variété compacte l'espace de modules des structures plates est de dimension finie et similairement l'espace de modules des structures complexes est de dimension finie.

En conclusion, l'analogue correct de la géométrie riemannienne est la géométrie presque complexe (deux types de G-structures sans condition d'intégrabilité, espaces de modules de dimension infinie en général) et l'analogue correct de la géométrie complexe est la géométrie riemannienne plate (deux types de G-structures intégrables, espaces de modules de dimension finie). Il se trouve que la géométrie riemannienne plate est trop simple et que la géométrie presque complexe semble être trop compliquée, ce qui contribue probablement à obscurcir ces analogies.

[0577]

Sur l'espace de modules des métriques riemanniennes:

Soit M une variété différentielle compacte orientée et N l'espace de modules des métriques riemanniennes sur M à isométrie près, i.e. le quotient de l'espace des métriques riemanniennes par l'action naturelle du groupe des difféomorphismes de M.

Il est évident que l'espace des métriques riemanniennes est de dimension infinie (si M n'est pas de dimension zéro): on peut toujours localement perturber une métrique. On peut se demander si celà reste vrai après quotient par l'action du groupe des difféomorphismes. Un argument heuristique montre que c'est le cas en général: localement, une métrique est donnée par n(n+1)/2 fonctions et un difféomorphisme est donné par n fonctions. On ne peut donc espérer N de dimension finie que si n(n+1)/2=n, i.e. n=1. En effet, en dimension 1, i.e. sur un cercle, une métrique est complètement spécifiée à isométrie près par la longueur du cercle.
En dimension supérieure, N est de dimension infinie.

En dimension 2, N est de dimension infinie mais sa géométrie se réduit à un objet de dimension finie. En effet, en dimension 2, une métrique riemannienne est localement conformément plate et N se rétracte donc sur l'espace de modules des structures complexes sur M, qui est de dimension finie. Le théorème d'uniformisation donne une section naturelle de cette rétraction: il existe une métrique de courbure constante dans chaque classe conforme.

En dimension supérieure, on ne sait à peu près rien. La résolution positive du problème de Yamabe montre que M se rétracte sur les métriques à courbures scalaires constantes, mais cet espace est encore de dimension infinie en dimension supérieure ou égale à trois. L'approche géométrie riemannienne pour étudier N consiste à trouver des métriques particulières sur N. Par exemple, l'espace des métriques d'Einstein (courbure de Ricci "constante") est de dimension finie mais on sait très peu de choses: on ne sait pas par exemple s'il y a une obstruction à l'existence d'une métrique d'Einstein sur une variét de dimension supérieure ou égale à 5. D'un point de vue topologique, comprendre N est essentiellement comprendre le groupe des difféomorphismes puisque l'espace de métriques riemaniennes est essentiellement trivial (un cône convexe ouvert). C'est déjà clair en dimension 2: tout le problème se ramène dans ce cas au "mapping class group", i.e. au groupe fondamental du groupe des difféomorphismes. En général, la topologie des groupes de difféomorphismes est un sujet compliqué. Par exemple, l'éventuelle non-connexité du groupe des difféomorphismes des sphères est intiment liée à l'existence des sphères exotiques.

(une remarque cryptique pour physiciens: l'approche naïve à la gravitation quantique consiste à "intégrer" sur N. Le fait que l'on comprenne N pour M de dimension 1 et 2 signifie qu'on sait définir naïvement la gravitation quantique en dimensions 1 et 2. Celà est lié au fait que la théorie quantique des champs perturbative et la théorie des cordes perturbatives font sens. Si M est de dimension supérieure ou égale à 3, on ne sait quasiment rien sur N, l'approche naïve à la gravitation quantique ne semble pas marcher et il ne semble pas exister de théories perturbatives formulées en termes d'objets fondamentaux de "grande" dimension).

[invitecbade190]

0577 Ce que vous avez écrit est très riche d'informations ... Merci de nous avoir éclairé sur ce sujet de dimension de l'espace des métriques riemanniennes. A vrai dire, je n'ai que très peu de connaissances sur ce sujet que je ne peux pas développer avec vous. Vous sembler bien maitriser la théorie des moduli spaces que j'aime moi aussi énormement. Ce serait sympas que vous puissiez nous parler un peu de ce sujet, et de sa principale vocation en mathématiques si vous avez du temps ...
Cordialement.


EDIT : MiPaMa ne semble pas avoir envie de dialoguer avec nous ... Elle lance juste des questions, mais évite d'interagir avec nous ... Je ne sais pas ce qui l’embête surtout quant c'est moi qui parle. Bon, je vais désormais réduire mon nombre d'intervention dans ce genre de discussions pour ne pas trop mettre du désordre sur le forum.

EDIT : C'est juste parce que je suis excité de dialoguer sur ce genre de sujet qui fait rêver beaucoup de monde. On n'a que très peu d'occasions où on peut échanger sur ces sujets.

[invite93e0873f]

Merci 0577 pour ce texte qui exprime très clairement et avec la bonne perspective certains éléments que je n'ai fait qu'effleurer précédemment. (Suite à mes propres messages, je me demande cependant si la question initiale de MiPaMa ne portait pas plus précisément sur autre chose, mais bon, ça n'enlève rien à vos excellentes réponses.)

Une G-structure est la mise en famille lisse de structures algébriques: en particulier, il existe toujours beaucoup de G-structures parce qu'on peut les définir localement et recoller les définitions locales à l'aide de partition de l'unité.

Est-ce bien vrai, en toute généralité ? Je suis d'accord pour les structures riemanniennes, mais pour les autres ?

Après tout, à l'exception des sphères de dimension 2 et 6, aucune sphère (de dimension paire) n'admet de structure presque complexe, même si c'est le cas sur chaque ouvert strict de celles-ci (bref, localement). Par ailleurs, à moins que l'espace des G-structures au niveau infinitésimal 1) soit convexe (comme dans le cas des produits scalaires), je vois mal comment utiliser une partition de l'unité pour recoller des définitions locales.

Il y a beaucoup de G-structures en général parce qu'une G-structure peut être non-triviale au niveau 2) alors qu'une G-structure intégrable est toujours triviale au niveau 2) et ne peut devenir non-triviale qu'au niveau 3). Dans ce cas, la non-trivialité ne provient que des conditions de recollement de structures localement triviales. Sous des hypothèses de compacité, ces conditions de recollement ne peuvent pas être trop compliquées et l'espace de modules de G-structures intégrables est souvent de dimension finie: sur une variété compacte l'espace de modules des structures plates est de dimension finie et similairement l'espace de modules des structures complexes est de dimension finie.

Est-ce un résultat relativement facile à obtenir ? J'ai toujours eu l'impression que non, mais je ne le sais franchement pas... il y a certainement une différence entre savoir si la dimension est finie (ce qui pourrait être simple) et déterminer davantage de propriétés de l'espace de modules (ce que je sais être difficile). Y a-t-il une preuve de la chose qui soit un peu « effective », en ce sens qu'elle permette de borner supérieurement la dimension de l'espace des G-structures pour une variété donnée ?

(une remarque cryptique pour physiciens: l'approche naïve à la gravitation quantique consiste à "intégrer" sur N. Le fait que l'on comprenne N pour M de dimension 1 et 2 signifie qu'on sait définir naïvement la gravitation quantique en dimensions 1 et 2. Celà est lié au fait que la théorie quantique des champs perturbative et la théorie des cordes perturbatives font sens. Si M est de dimension supérieure ou égale à 3, on ne sait quasiment rien sur N, l'approche naïve à la gravitation quantique ne semble pas marcher et il ne semble pas exister de théories perturbatives formulées en termes d'objets fondamentaux de "grande" dimension).

Je ne suis pas physicien et ce genre de remarque m'échappe en bonne partie (même si vous ne l'aviez pas voulue cryptique), à mon grand désarroi. Ceci dit, pour ce que je comprends de ces choses, je me demande : est-ce bien une approche naïve à la gravitation quantique ou n'est-ce pas plutôt l'idée générale des modèles sigma non linéaires ?

Merci beaucoup !

[invite47ecce17]

Bonjour,
En fait je n'avais pas d'idée tres precise quant à la direction de la discussion (qui partait un peu de choses que j'avais appris recement en géométrie complexe et dont je n'imaginais litteralement pas l'existence), mais l'orientation donnée me convient parfaitement.

En fait à lire vos réponses, je m'apercois que les espaces de modules de structure differentielles (e.g les G-structures dont parle 0577) ont naturellement tendance à être beaucoup plus gros que ceux de la géométrie complexe. Ce qui est bien sur tres naturel, étant donné que la géométrie complexe est beaucoup plus rigide.

Les points soulevés par 0577 sont tres interessants, dans le sens où ils indiquent que dans le cas lisse, ce qui est interessant sont les invariants "traditionnels" de la topologie differentielle, calculés pour les espaces de modules des objets en question (e.g le type d'homotopie du groupe des difféomorphismes des spheres).

Je suis désolé de la lenteur (et la vacuité) de mes réponses, je suis actuellement malade, et sortir de mon lit (et reflechir!) me demande une energie qui me fait defaut.

J'ai regardé le papier de Donaldson (Application of Gauge Theory to 4 dimensional topology) sur la topologie des 4-variétés diff, je pense que j'essaierai d'en parler de manière plus precise dans les jours qui arrivent car c'est exactement le genre de phénomènes que j'avais en tête en ouvrant le fil.

[0577]

Bonjour,

Est-ce bien vrai, en toute généralité ? Je suis d'accord pour les structures riemanniennes, mais pour les autres ?

Après tout, à l'exception des sphères de dimension 2 et 6, aucune sphère (de dimension paire) n'admet de structure presque complexe, même si c'est le cas sur chaque ouvert strict de celles-ci (bref, localement). Par ailleurs, à moins que l'espace des G-structures au niveau infinitésimal 1) soit convexe (comme dans le cas des produits scalaires), je vois mal comment utiliser une partition de l'unité pour recoller des définitions locales.

Merci pour la correction. J'ai en effet écrit une bêtise, il existe en général des obstructions globales à l'existence d'une G-structure comme le montre l'exemple des structures presque complexes.

Est-ce un résultat relativement facile à obtenir ? J'ai toujours eu l'impression que non, mais je ne le sais franchement pas... il y a certainement une différence entre savoir si la dimension est finie (ce qui pourrait être simple) et déterminer davantage de propriétés de l'espace de modules (ce que je sais être difficile). Y a-t-il une preuve de la chose qui soit un peu « effective », en ce sens qu'elle permette de borner supérieurement la dimension de l'espace des G-structures pour une variété donnée ?

En fait je ne sais pas et c'est pourquoi j'ai été prudent en écrivant "souvent". Il me semble qu'il doit exister une théorie générale des déformations des G-structures intégrables, avec pour objet central un opérateur différentiel (comme le dbar dans le cas complexe) et la question de la finitude de la dimension sous hypothèse de compacité se ramène à la question de l'ellipticité de cet opérateur. Il est bien possible qu'il y ait des contre-exemples mais je n'en est pas en tête.

(Suite à mes propres messages, je me demande cependant si la question initiale de MiPaMa ne portait pas plus précisément sur autre chose, mais bon, ça n'enlève rien à vos excellentes réponses.)

En effet, je n'ai fait que suivre certains des thèmes abordés précédemment. J'aimerais en ajouter un autre, peut-être plus en lien avec la question initiale. La question initiale semble être sur la "discrimination des objets géométriques parmi les objets topologiques". Dans cette question, il me semble sous-entendu que les "objets géométriques" sont les variétés différentielles. Mais, par exemple d'un point de vue de géomètre algébriste, j'aimerais inclure des objets bien plus singuliers. N'importe quelle variété algébrique sur C, même extrêmement singulière, est un "objet géométrique" et en fait un tel objet possède encore une partie des propriétés cohomologiques remarquables des variétés projectives lisses (l'existence d'une structure de Hodge (mixte) sur la cohomologie) qui n'existent pas en général sur une variété différentielle sans extra structure.

Partiellement relié, sur le lien entre topologie et géométrie, on peut lire la section 5 de "Esquisse d'un programme", par Grothendieck, intitulée "Haro sur la topologie dite “générale”, et réflexions heuristiques vers une topologie dite “modérée”".

[invite93e0873f]

Bonjour,

En fait je ne sais pas et c'est pourquoi j'ai été prudent en écrivant "souvent". Il me semble qu'il doit exister une théorie générale des déformations des G-structures intégrables, avec pour objet central un opérateur différentiel (comme le dbar dans le cas complexe) et la question de la finitude de la dimension sous hypothèse de compacité se ramène à la question de l'ellipticité de cet opérateur. Il est bien possible qu'il y ait des contre-exemples mais je n'en est pas en tête.

Merci pour ces précisions. C'est une perspective qui me semble digne d'intérêt et sur laquelle je souhaite réfléchir depuis un certain temps déjà, sans m'y être encore véritablement adonné. Je n'avais jamais vraiment formulé la problématique dans ces termes-là, donc je vous remercie de l'avoir fait.

Il me semble cependant que la démarche que vous proposez ne correspond pas tout à fait à l'étude des G-structures, mais plutôt à l'étude de données auxiliaires définies à l'aide d'une G-structure. Par exemple, je ne sais pas comment nous pouvons exprimer l'intégrabilité d'une structure presque complexe en termes de l'opérateur dbar associé (dont l'ellipticité me semble donner des informations sur l'espace des applications holomorphes).

La condition d'intégrabilité semble souvent être une condition différentielle non linéaire. Par exemple, pour une métrique riemannienne g, son intégrabilité correspond à l'annulation du commutateur ; pour une structure presque complexe J, son intégrabilité correspond à l'annulation du crochet de Frölicher-Nijenhuis . (Incidemment, il serait intéressant de voir si les constructions de la connexion de Levi-Civita et du tenseur de Riemann sont liées au crochet de Frölicher-Nijenhuis de g avec g.) Cette non-linéarité me semble compliquer la tâche...

Ceci dit, la condition d'intégrabilité d'une structure presque symplectique est linéaire : il faut et il suffit que la dérivée extérieure de la 2-forme soit nulle. La dérivée extérieure n'est pas directement un opérateur elliptique il me semble. D'un autre côté, je ne connais aucun exemple de variété admettant un espace de dimension infinie de structures symplectiques (mais la caractérisation de cet espace de module est un problème bien difficile...).

Des problématiques bien intéressantes que tout cela...

[azizovsky]

Dédicace spéciale à azizovsky http://www.cnrtl.fr/lexicographie/pav%C3%A9

Bonsoir, Un grand merci stefjm, je te sohaite une meilleure année,......, et à tous le monde .

[0577]

Bonjour,

Il me semble cependant que la démarche que vous proposez ne correspond pas tout à fait à l'étude des G-structures, mais plutôt à l'étude de données auxiliaires définies à l'aide d'une G-structure. Par exemple, je ne sais pas comment nous pouvons exprimer l'intégrabilité d'une structure presque complexe en termes de l'opérateur dbar associé (dont l'ellipticité me semble donner des informations sur l'espace des applications holomorphes).

La condition d'intégrabilité semble souvent être une condition différentielle non linéaire. Par exemple, pour une métrique riemannienne g, son intégrabilité correspond à l'annulation du commutateur ; pour une structure presque complexe J, son intégrabilité correspond à l'annulation du crochet de Frölicher-Nijenhuis . (Incidemment, il serait intéressant de voir si les constructions de la connexion de Levi-Civita et du tenseur de Riemann sont liées au crochet de Frölicher-Nijenhuis de g avec g.) Cette non-linéarité me semble compliquer la tâche...

L'intégrabilité d'une structure presque complexe est équivalente au fait que dbar est de carré nul. Déformer la structure complexe est la même chose que déformer l'opérateur dbar en préservant cette condition. L'espace tangent à l'espace des déformations est un groupe de dbar-cohomologie, , dont la finitude de la dimension est une conséquence de l'ellipticité de dbar.

En effet, la condition d'intégrabilité est non-linéaire mais si on ne s'intéresse qu'à des déformations infinitésimales, on peut linéariser et l'opérateur différentiel auquel je faisais référence est probablement cette linéarisation. L'espace tangent à l'espace des déformations est alors quelque chose comme le noyau de cet opérateur différentiel linéaire, qui est en effet de dimension finie sous hypothèse de compacité et d'ellipticité.

Ceci dit, la condition d'intégrabilité d'une structure presque symplectique est linéaire : il faut et il suffit que la dérivée extérieure de la 2-forme soit nulle. La dérivée extérieure n'est pas directement un opérateur elliptique il me semble. D'un autre côté, je ne connais aucun exemple de variété admettant un espace de dimension infinie de structures symplectiques (mais la caractérisation de cet espace de module est un problème bien difficile...).

En effet, la différentielle extérieure n'est pas un opérateur elliptique en général mais le complexe de de Rham est un complexe elliptique. Quoiqu'il en soit je ne suis pas sûr de savoir appliquer une théorie générale pour traiter ce cas. Mais un autre argument permet de montrer directement que l'espace des structures symplectiques modulo symplectomorphismes sur une variété compacte est de dimension finie: par le lemme de Moser, l'application de l'espace des structures symplectiques vers qui à une forme symplectique associe sa classe de cohomologie est un isomorphisme local.

[invite93e0873f]

Bonjour,

Il me semble cependant que la démarche que vous proposez ne correspond pas tout à fait à l'étude des G-structures, mais plutôt à l'étude de données auxiliaires définies à l'aide d'une G-structure. Par exemple, je ne sais pas comment nous pouvons exprimer l'intégrabilité d'une structure presque complexe en termes de l'opérateur dbar associé (dont l'ellipticité me semble donner des informations sur l'espace des applications holomorphes).

L'intégrabilité d'une structure presque complexe est équivalente au fait que dbar est de carré nul. Déformer la structure complexe est la même chose que déformer l'opérateur dbar en préservant cette condition. L'espace tangent à l'espace des déformations est un groupe de dbar-cohomologie, , dont la finitude de la dimension est une conséquence de l'ellipticité de dbar.

En effet, la condition d'intégrabilité est non-linéaire mais si on ne s'intéresse qu'à des déformations infinitésimales, on peut linéariser et l'opérateur différentiel auquel je faisais référence est probablement cette linéarisation. L'espace tangent à l'espace des déformations est alors quelque chose comme le noyau de cet opérateur différentiel linéaire, qui est en effet de dimension finie sous hypothèse de compacité et d'ellipticité.

Je n'avais jamais pris conscience de l'équivalence entre l'intégrabilité de la structure presque complexe et . Pourtant, comme je l'ai écrit dans un précédent message, je savais bien que l'intégrabilité était liée à un « bon comportement » par rapport aux décompositions en formes de type ; je ne pourrais plus dire maintenant ce que j'avais plus précisément à l'esprit. Merci immensément de m'avoir ouvert les yeux.

J'ai déjà étudié de tels aspects de linéarisation de l'opérateur et de l'ellipticité de ce dernier, mais il m'a toujours semblé que c'était dans le but d'étudier l'espace des fonctions holomorphes. Je devrais grandement bénéficié de votre précision la prochainement fois que j'étudierai ces choses.

Ceci dit, la condition d'intégrabilité d'une structure presque symplectique est linéaire : il faut et il suffit que la dérivée extérieure de la 2-forme soit nulle. La dérivée extérieure n'est pas directement un opérateur elliptique il me semble. D'un autre côté, je ne connais aucun exemple de variété admettant un espace de dimension infinie de structures symplectiques (mais la caractérisation de cet espace de module est un problème bien difficile...).

En effet, la différentielle extérieure n'est pas un opérateur elliptique en général mais le complexe de de Rham est un complexe elliptique. Quoiqu'il en soit je ne suis pas sûr de savoir appliquer une théorie générale pour traiter ce cas. Mais un autre argument permet de montrer directement que l'espace des structures symplectiques modulo symplectomorphismes sur une variété compacte est de dimension finie: par le lemme de Moser, l'application de l'espace des structures symplectiques vers qui à une forme symplectique associe sa classe de cohomologie est un isomorphisme local.

Une fois de plus, vous vous contentez d'exprimer l'essentiel, mettant en lumière la perspective appropriée pour réfléchir à la question sans rencontrer d'obstacles fictifs. Bref, vous m'avez placé dans le bon état d'esprit pour (enfin) comprendre un aspect relativement élémentaire de l'espace des structures symplectiques (comme quoi je ne connaissais pas aussi bien ces choses que je le croyais).

L'application associant à une forme symplectique sa classe de cohomologie est ouverte dans le cas d'une variété M compacte, c'est-à-dire que est un cône ouvert dans ce cas.

Le théorème de stabilité de Möser implique en effet que est isomorphe à l'espace des feuilles de , où est le groupe des difféotopies (la composante connexe du groupe des difféomorphismes) de , et l'espace est « clairement » localement isomorphe à (l'espace des feuilles n'est pas une variété séparée en général, mais cet isomorphisme local est moralement plausible et probablement rigoureusement défini en termes de difféologies). Le quotient est passablement plus difficile à identifier.

Le théorème de stabilité de Möser pour les variétés compactes se démontre de deux façons, chacune liée à un aspect différent de la théorie globale des G-structures que vous avez évoqués, selon que le lemme de Möser est appliqué localement ou globalement.

1) Le lemme de Möser permet de démontrer l'intégrabilité locale d'une forme symplectique, c'est-à-dire qu'il permet de démontrer le théorème de Darboux. En fait, il permet de montrer un résultat un peu plus fin que le théorème de Darboux, liée à l'action des difféotopies à support compact. Pour passer au global, il suffit d'argumenter à l'aide d'un bon recouvrement (fini) et via Mayer-Vietoris. Bref, c'est un cas de recollement des « standardisations locales ».

2) Il est possible d'utiliser le lemme de Möser de manière globale plus directement. La théorie de Hodge montre que le complexe de de Rham est elliptique (pour le laplacien de Hodge) une fois effectué un choix de métrique riemannienne sur M. La théorie des complexes elliptiques permet la construction d'un opérateur de Green, opérateur dont l'existence permet d'utiliser le lemme de Möser globalement.

Merci encore beaucoup pour vos excellents commentaires.