Projection orthogonale sur un convexe fermé

[invitec4d48f25]

Bonjour
c'est un exercice du td de H.Brezis je suis coincée à la 2 ème question je n'arrive pas à déterminer la projection orthogonale de b0 sur A et a0 sur B pourriez vous m'aider s'il vous plait
Merci

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[invite23cdddab]

Tu peux te servir du fait que la projection de b0 sur A est l'unique point a de A qui minimise |a-b0|

[invitec4d48f25]

Merci d avoir répondu.
mais est ce que le faite d avoir ça répond a la question d(ao,B)=II bo_PboII et d(bo,A)=IIbo_PaoII je me suis arrêtée la !

[invite23cdddab]

Non, ça n'est pas suffisant.

Je dirai un truc du genre :

D'après la propriété précédente,
d(a0,b0) <= d(a0,Pa0)
Comme Pa0 est l'unique point qui minimise la distance entre a0 et B, on a
d(a0, Pa0) = d(a0, B) <= d(a0,b0) (car b0 est dans B)

Ainsi d(a0,Pa0) = d(a0,b0). Et comme b0 appartient à B et que Pa0 est l'unique point de B qui minimise la distance, on a que Pa0 = b0

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec4d48f25]

Merci pour tous ces eclairessisement =)