Relations de comparaison pour les fonctions.

[invited5e782d8]

Bonjour.
J'ai une simple question à vous poser :
Pourquoi petit o de = petit o de lorsque ?
-----

[gg0]

Bonjour.

Applique la définition. Tu verras que c'est faux, c'est même le contraire.

Comment définis-tu f(t)=o(g(t)) en a ?

Cordialement.

[invited5e782d8]

Cela signifie que f(t)/g(t) tend vers 0 lorsque t tend vers a.

J'ai du écrire une ânerie dans mon cours.
En faite j'avais écris ceci afin de comprendre pourquoi (1 + o(t²)).(1+o(t²)) = 1+o(t²) lorsque t tends vers 0.
Je comprends que laisser o(t²) donne beaucoup plus d'informations que o(t⁴)et que o(t²)+o(t⁴) est un surplus inutile de notations.
J'aimerais en faite savoir s'il y a un résultat algébrique qui permet de comprendre le phénomène autrement que par cette intuition.

Cordialement.

[gg0]

Une meilleure définition de f(t)=o(g(t)) en a est avec

Il te suffit d'appliquer pour voir que x⁴=o(x²), donc qu'il est inutile de conserver ce terme en o(x⁴).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5e782d8]

Mais alors o(t⁴) = t⁴.o(1)=o(t²).o(1)=t².o(1).o(1 )=t².o(1)=o(t²) non ?

[gg0]

Bonjour.

Non, on ne peut pas vraiment considérer qu'il s'agit d’égalité au sens habituel. D'abord, il faut comprendre que o(t²) signifie en fait un ensemble de fonctions et donc 3t²+o(t²) doit être compris comme : 3t² plus une quantité dont on se moque de savoir la valeur exacte. ce qui fait que les deux o(t²) que tu écris : "o(t²).o(1)=t².o(1).o(1 )=t².o(1)=o(t²)" ne sont en rien égaux.
D'autre part, la définition de o(g(t)) en t=a n'est pas g(t)e(t) avec e(t) qui tend vers 0 : Tu as oublié que ces notations font systématiquement partie d'une somme. Si on les sépare, on ne sait plus vraiment de quoi on parle, puisque si on écrit f(t)=g(t)+g(t)e(t), le terme en o(g(t)) est parfaitement défini (c'est f(t)-g(t) !!). mais tout seul, il n'est pas défini.

Le seul intérêt de ton calcul est de montrer qu' un o(t⁴) en 0 est bien un o(t²), ce qui se fait rapidement par o(t⁴)= t⁴e(t)=t² e'(t) où e' tend vers 0 en 0.

Cordialement.

[invited5e782d8]

Bonjour.

Comme il n'est plus dans le programme de MPSI de considérer f(t)=g(t)*e(t) avec e(t) tend vers 0 en a (mais comme je l'ai définit un peu plus haut), je ne comprend pas bien pourquoi vous me dite que ces notations font systématiquement partie d'une somme.

Concernant le reste, je comprend qu'écrire "o(t²)*o(1) = o(t²)" est un peu génant, parce qu'il n'est pas explicite que les deux o(t²) sont différents. Cependant, comme on ne moque justement de cette valeur (e ou e' comme vous l'écrivez) qui tend vers 0 en 0, je ne comprend pas en quoi cette écriture est incorrecte.

[gg0]

Tu as raison, j'ai été un peu vite en disant que ça faisait partie d'une somme. on utilise éventuellement des comparaisons directes.
Mais la notation o(expression) est une notation floue, donc les égalités la comportant ne sont pas des égalités de nombres :
Si f(t)=o(t²) et g(t)=o(t²) tu ne peux pas en déduire que f(t)=g(t)
Ce ne sont pas des égalités ( normalement = veut dire que c'est le même objet à droite et à gauche), la seule bonne notation, plus pénible à écrire et encore plus à utiliser est :

Et encore, quand on connaît le contexte (par exemple t tend vers 0).

Donc en reprenant ton texte :
"o(t⁴) = t⁴.o(1)=o(t²).o(1)=t².o(1) .o(1 )=t².o(1)=o(t²)"
comme le "=" n'est pas une égalité, mais la traduction du fait qu'une expression qui appartient au premier appartient au deuxième, tu n'as fait que redire qu'un o(t⁴) est un o(t²). De façon compliquée.

Un bon conseil : Utilise ces notations pour ce à quoi elles servent, méfie-toi de la définition que tu as donnée (elle pose problème si g s'annule une infinité de fois au voisinage de la limite, comme sin(1/t) au voisinage de 0). Je ne vois pas en quoi elle serait hors programme en MPSI, c'est une conséquence immédiate de ta définition

Cordialement.

[invited5e782d8]

Merci pour cet éclairement.
Je pense que l'on ne la pas vu (officiellement du moins) ainsi pour que ce soit plus facile à retenir. En tous cas c'est demandé ainsi dans le programme...

Une chose encore sur ce chapitre : pourquoi est-il toujours possible d'intégrer un développement limité, mais pas de le dériver (en général) ?
Il me semble que cela pose problème car la dérivée d'une fonction qui admet un DL à l'ordre n en a, n'admet pas forcément de DL à l'ordre n-1 en a, alors que la primitive qui s'annule en a admet forcément un DL à l'ordre n+1 en a.
Pourquoi ?

Cordialement

[gg0]

Voir ce texte.

[invited5e782d8]

Merci pour le lien.
J'ai compris l'exemple de f(x)=x²sin(1/x).
Cependant je n'ai pas bien compris l'idée qui suit : comme quoi on "perd de la régularité" en dérivant et que l'on en gagné en intégrant.
Déjà qu'est-ce que de la "regularité" ?

[gg0]

La régularité, c'est la continuité, la dérivabilité, la dérivée continue, la dérivée seconde, etc.
La dérivé n'est pas nécessairement continue, ce qui pose problème : Si f a un DL d'ordre 0 en a, elle y est continue. Si elle est dérivable, elle a un DL d'ordre 1; mais sa dérivée (qui aurait un DL 0) n'est pas nécessairement continue, donc n'a pas toujours un DL.

Cordialement.

[stefjm]

Cependant je n'ai pas bien compris l'idée qui suit : comme quoi on "perd de la régularité" en dérivant et que l'on en gagné en intégrant.
Déjà qu'est-ce que de la "regularité" ?

Bonjour,
Un exemple visuel avec une fonction simple : la fonction de Heaviside :
Cette fonction n'est pas continue en 0 et n'a donc pas de développement limité à l'ordre 0 en 0 (DLordre(point), DL0(0)).

La primitive de qui s'annule en 0 est une rampe :

Elle est continue en 0, mais pas sa dérivée.
Elle admet un DL0(0) qui vaut 0, mais pas un DL1(0).

La primitive de la rampe qui s'annule en 0 : parabole causale
Elle est continue en 0, ainsi que sa dérivée.
Elle admet un DL1(0) qui vaut 0, mais pas de DL2(0) car l'échelon n'est pas continu en 0.

Cordialement.

Edit : Les primitives d'une fonction continue par morceau sont des fonctions continues, donc plus régulière que la fonction de départ.

[invited5e782d8]

Merci pour vos réponses.
J'ai de nouveaux quelques questions :

1. La dérivée de o(t²) est o(t²) d'après le lien que vous m'avez fourni. Est-ce ainsi (et non o(t) ) car o(t²) est un o(t) mais apporte plus d'informations ?

2. Toujours d'après le lien, la fonction f(x) =x²sin(1/x) admet un DL1 en 0 mais sa dérivée n'est pas continue en 0. Je trouve que c'est contradictoire avec votre dernier message.
Reprenons l'exemple :
f'(x)= 2xsin(1/x) - cos (1/x). En effet f'(x) n'est pas continue en 0.
Sin (x) = x + o(x) (DL1 en 0)
Je n'arrive cependant pas à trouver un DL1(0) correct pour f(x)...

Je vous laisse m'éclairer !

Cordialement.

[gg0]

Evocation,

1) " La dérivée de o(t²) est o(t²) " ??? Pourquoi o(t²) serait-il dérivable ? Et même si o(t²)=e(x)t² avec e fonction dérivable en 0 et qui vaut 0 en 0, la dérivée de e(x)t² est e'(x)t²+2e(x)t qui n'a aucune raison d'être un o(t²).
"d'après le lien que vous m'avez fourni" ?? lequel ?

Sinon, c'est vrai qu'en 0, o(t²) est plus strict que o(t), donc apporte plus d'information. C'est le contraire en +oo ou -oo.

2) si f est dérivable en a, alors f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+o(x-a) (c'est d'ailleurs ainsi qu'on définit très souvent le nombre dérivé f'(a)).
Dans ton cas, il faut calculer f'(0). le f'(x) que tu as écrit n'a de sens que pour x non nul, de façon évidente.

Cordialement.

[invited5e782d8]

1. Je me referais au document wikipedia que tu m'as fournis à la partie dérivation et intégration termes à termes.

2. Le soucis pour cette fonction (f') est qu'elle n'est pas prolongeable par continuité en 0. Du coup j'ai l'impression que f'(0) n'existe pas..

[gg0]

1) Je n'ai pas vu ça dans le document. Où l'as-tu trouvé ? (NB : Ce n'est pas wikipédia)
2) C'est f qui se prolonge par continuité en 0, et qui a une dérivée en 0. f' n'étant justement pas continue, la formule que tu as écrite ne donne pas f'(0) quand on passe à la limite. J'espère que tu sais calculer un nombre dérivé (ici en 0), pas seulement utiliser des formules.

[invited5e782d8]

1. À vrai dire je ne tire pas ce résultat de façon explicite. Dans la définition de la dérivation et de l'intégration du lien, ils disent que la dérivation se fait terme à terme alors j'en ai tiré cette conclusion. En faite je me suis basé du résultat vu en cours : intégrale de 0 à h de o(t³) en 0 vaut o(t⁴), en voyant la ressemblance des résultats.

2. Je ne pense pas savoir calculer un nombre dérivé. En tous cas j'ai toujours appliqué des formules.
Est-ce que le problème est le même pour trouver le DL1(0) de x->-3|x| -1/4, la dérivée n'étant pas continue en 0 ?

[gg0]

1) donc si en intégrant o(t³) tu obtiens o(t⁴), il n'y a pas de raison qu'un o(t²) donne encore o(t²) en d&rivant.
2) Quand les formules ne s'appliquent pas (comme ici en 0), on applique la définition de la dérivée (avec le taux d'accroissement limite).. pour -3|x| -1/4, c'est différent : Il n'y a pas de DL1 en 0, puisque la fonction n'est pas dérivable en 0. Dire que la dérivée n'est pas continue en 0 est donc faux.

[invited5e782d8]

1. Voilà pourquoi j'en parle (vf pièce jointe).
Je suis par ailleurs d'accord avec vous qu'un o(t²) donne un o(t) en 0, en dérivant.

2. Du coup le DL1(0) est : x²sin(1/x) = o(x) car f'(0)=0 en faisant la limite du taux d'accroissement.
Par ailleurs, comme la dérivée n'est pas continue, il n'y a pas existence de DL2(0) c'est bien ça ?

3. Concernant la fonction x --> -3|x| - 1/4, je l'ai obtenue en résolvant un exercice qui associe développements limités et équations différentielles :

3.1. Résoudre (F) y"-4y = 3|x|+1 sur R- puis sur R+ (solutions : pour tous réels négatifs : y(x) = où alpha et beta sont réels.
Pour tous réels positifs : y(x) = où alpha et beta sont réels.

3.2 Trouver toutes les solutions de (F) sur R qui admettent une droite asymptotique en +infini (solution : il suffit que alpha soit nul)
3.3 Une solution de (F) qui admet une asymptote en +infini et aussi une en -infini est elle paire ? (solution : l'unique possibilité est alpha=beta=0. x-->-3|x| - 1/4 est bien pair)
3.4 Expliciter une telle solution et écrire son DL1(0). Est-elle unique ? Est-elle de classe C2 ?

Je me suis certainement trompé, s'il n'est pas possible d'écrire de DL1(0) pour la fonction trouvée.

Cordialement.

[gg0]

Je ne vois pas encore ta pièce jointe.

2) Oui
3) Je n'ai pas le temps de regarder de près, je ne vois pas de défaut dans ce que tu dis, mais je n'ai pas fait le travail.

Bon dernier jour de 2015 !

[gg0]

Finalement, j'ai vu ta pièce jointe : C'est une erreur d'exposant, le dernier terme de la somme est d'ailleurs de degré n-1, pas n.

[invited5e782d8]

Bonnes fêtes. Vous me répondrez lorsque vous pourrez.

[gg0]

Bonjour, et bonne année 2016 !

Je viens de regarder ton exercice de plus près. A la question 2, on te demande une solution sur , donc il faut raccorder les deux en 0, de façon que y" existe. Comme on veut l'asymptote en +oo, il faut effectivement , mais aussi que le raccordement soit fait en 0. Comme il y a 3 paramètres à déterminer (2 sur , 1 sur ), les trois conditions (égalité des fonctions, égalité des dérivées à gauche et à droite, égalité des dérivées secondes à gauche et à droite) peuvent être satisfaites, et on constate même que la dernière condition est automatiquement satisfaite.
On a donc une certaine liberté pour les valeurs des paramètres.
A la question 3, comme tu es allé trop vite à la 2, tu conclus trop facilement à l'unicité d'une solution, qui n'est même pas une solution sur , vu qu'il n'y a pas de dérivée seconde en 0.

Donc reprends vraiment ta question 2, en évitant d’appeler par les mêmes noms (C et D) les coefficients des fonctions solutions sur et .

Cordialement.

[invited5e782d8]

Merci pour votre réponse. Je pense avoir finis l'exercice (en pièces jointes). Qu'en dîtes vous ?

[gg0]

Bonjour !

ta résolution de la question 18 est totalement fausse. De

Tu ne peux pas déduire que

3+7=4+6, sans que 3 soit égal à 4 ou à 6.

Tu peux d'ailleurs simplifier le travail en utilisant l'hypothèse de l'asymptote en +oo, qui ne concerne que la branche positive de la courbe.

D'autre part, tu ne sembles pas vérifier la dérivabilité en 0 (nécessaire pour que y" existe en 0).

[invited5e782d8]

Bonjour.
Merci pour ta correction.

Reprenons l'exercice, avec ces éléments de réponse au brouillon, en pièces jointes.
J'aimerai soulever quelques nouveaux problèmes.

1. Concernant la première feuille, je n'arrive pas à bien présenter cette petite résolution de système. Lors de la deuxième équivalence, j'ai en premier lieu additionné L1 et L2 du système précédent, et en deuxième temps j'ai soustrait L2 et L1. Cependant comment dois-je l'écrire rigoureusement ? Dois-je résoudre séparément deux systèmes ? Dois-je utiliser le symbole "ou", "et" ?

2.

D'autre part, tu ne sembles pas vérifier la dérivabilité en 0 (nécessaire pour que y" existe en 0).

Si je vérifie la continuité de y en 0, puis la continuité de y' en 0, n'ai-je pas vérifié la dérivabilité de y en 0 ?

3. Il me semble que le "deuxième objectif " de la page 3 de la résolution différente reste inchangée.

4. Enoncé : "Une solution de (F) qui admet une asyptote en +infini et aussi une en -infini est-elle paire?"
Dois-je faire une preuve pour toute solution de (F) qui admet une asyptote en +infini et aussi une en -infini OU un exemple particulier suffit ? L'énoncé m'embrouille...

5. Si un exemple suffit, il me semble que les questions 19 et 20 de ma dernière résolution (page 4) restent inchangées, à ceci près : alpha = 0 et beta = -3/8

Cordialement.

[gg0]

1) Le mieux est de procéder par équivalences. le système(L1,L2) étant équivalent au système(L1+L2,L1-L2) (rédige une preuve pour toi-même pour en être convaincu), tu sembles avoir procédé par équivalences sans le dire.
2) Comment peux-tu parler de continuité de y' en 0 si tu ne calcules pas sa valeur en 0 ? Ce que tu as fait dit que y, définie sur R* a une dérivée, qui peut être prolongée par continuité en 0; pas que la fonction que tu as définie en prolongeant y par continuité en 0 est dérivable.
En fait, tu peux utiliser ces éléments, mais tu ne peux pas éluder la dérivabilité en 0.
3) ?? Je ne comprends pas.
4) Te dit-on "existe-t-il une solution paire qui admet ...", ou bien l'énoncé commence-t-il par l'article indéfini "Une" ? Dans le deuxième cas, l'indéfini remplace justement toutes les instances? Cette question se traite bien si on reprend le procédé du 3 avec l'hypothèse des 2 asymptotes pour obtenir l'ensemble des solutions possibles.

Globalement, tu sembles vouloir toucher le moins possible à ce que tu as fait, alors que
* tu t'es compliqué la vie au 3
* Une fois traité bien correctement le 3, tel qu'il est proposé, on reprend le même type de travail au 4, et on y voit clair.

NB : Je ne peux pas encore lire tes nouvelles pièces jointes.

Cordialement.

[invited5e782d8]

Bonjour,

2) Comment peux-tu parler de continuité de y' en 0 si tu ne calcules pas sa valeur en 0 ? Ce que tu as fait dit que y, définie sur R* a une dérivée, qui peut être prolongée par continuité en 0; pas que la fonction que tu as définie en prolongeant y par continuité en 0 est dérivable.
En fait, tu peux utiliser ces éléments, mais tu ne peux pas éluder la dérivabilité en 0.

1.En faite, j'ai sans le dire utilisé le théorème donné en pièce jointe. Peut-être que ma compréhension de celui-ci est erronée. Corrigez moi s'il le faut.

Globalement, tu sembles vouloir toucher le moins possible à ce que tu as fait, alors que
* tu t'es compliqué la vie au 3
* Une fois traité bien correctement le 3, tel qu'il est proposé, on reprend le même type de travail au 4, et on y voit clair.

2.En faite, je me suis dit que chercher toutes les solution de (F) sur R, puis ensuite chercher lesquelles admettent des asymptotes en +infini ou -infini serait moins fastidieux...

En tous cas, vous pouvez maintenant consulter la pièce jointe apportée dans le précédent message. J'y apporte l'ensemble des solutions de (F) sur R. Si je ne me suis pas trompé, il suffit que alpha soit nul pour avoir toutes les solutions de (F) sur R qui admettent une asymptote en +infini et il suffit ensuite que beta vaux -3/8 pour avoir l'unique solution de (F) sur R qui admet deux asymptote en +infini et en -infini.

Moi :

3. Il me semble que le "deuxième objectif " de la page 3 de la résolution différente reste inchangée.

Vous:

3) ?? Je ne comprends pas.

3.Ce que je voulais dire est que, même si l'ensemble des solutions de (F) sur R est différent, par coïncidence le raisonnement que j'ai tenu, dans les pièces jointes du 4 janvier, semble rester le même pour la fin de la question 18 (à partir de ce que j'ai nommé dans cette pièce jointe "deuxième objectif") et pour les questions 19 et 20. Etes vous d'accord avec cela ?

Cordialement.

PS : je renvoie les pièces jointes de la réponse à la question 18 car elles sont de mauvaise qualité.

[gg0]

Ok pour le théorème. mais comme tu n'y faisais pas allusion, difficile de savoir ce que tu faisais.

Pour la suite, tu donnes des avis, tu verras bien ce que ton prof dira de la rédaction mathématique que tu lui rendras. Comme je ne l'ai pas, je ne vais pas en parler . Ni parler de calculs que tu as fait et que je n'ai pas.

Cordialement.