Intégrabilité sur un segment

[mrt44]

Bonsoir,

Il y a une nuance dans l'intégrabilité que je ne saisi pas.
Une fonction définie, continue sur un segment est-elle toujours intégrable ? Je pensais que oui, apparemment non.

Si on prend f(t) = t^a-1 / (e^t-0,5) sur ]0; +infini[ avec a réel.

En +infini, on a t²*f(t) qui tend vers 0 par croissances comparées, donc f(t) intégrable sur [b,+infini[, b > 1.

C'est là que j'ai envie de dire que sur [0,b], la fonction est définie et continue donc intégrable, donc sur [0, +infini[, ce qui est apparemment faux est vrai seulement si a >0 (étude en 0). Je ne comprend pas ce qui justifie cette étude en 0, étant donné qu'il n'y a pas de problème en 0 !

Merci de votre aide.
-----

[Resartus]

IL Y A un problème en zero, puisque la fonction tend vers l'infini si a<1. Elle est équivalente à 2*t^(a-1) dont l'intégrale est 2*t^a/a (si a<>0).
On voit donc que l'intégrale ne converge pas si a<0.
Pour a=0 la fonction équivaut à 2/x dont l'intégrale est 2ln(x). Intégrale pas convergente non plus.
En résumé il faut bien que a>0
Pour a entre 0 et 1, bien que la fonction tende vers l'infini, l'intégrale est convergente

[gg0]

Bonjour.

Une fonction continue sur un segment fermé borné est intégrable (Riemann, ou Lebesgue, ou Henstock). le cas de x-->x² sur R montre bien qu'il ne faut pas oublier le "borné", celui de x-->1/x sur ]0;1] montre qu'on ne peut pas publier le "fermé". D'ailleurs, l'intégrale de Riemann n'est définie que pour des intervalles fermés bornés.

Cordialement.

[mrt44]

D'accord je vois où j'ai fait une erreur !

Merci pour vos précisions, tout est dit.

[A voir en vidéo sur Futura]