Composition et développements limités

[invited5e782d8]

Bonjour.
Je suis un étudiant en MPSI et j'ai récemment commencé à étudier les développements limités. J'ai quelques questions à vous poser concernant la composition, et j'aurais besoin d'un peu d'aide pour résoudre un exercice.

1. Soit le DL3(0) de x--> arcsin(x) :
Pour obtenir le DL3(0) de x --> arcsin(1-2x), il suffit de chercher le le DL3(0) de x-->1-2x (soit ) et remplacer h par ce dernier DL dans le DL de x-->arcsin(x).

1.a Cependant, maintenant ce DL n'est plus valable lorsque x tend vers 0 non ? Lorsque x tend vers 0, 1-2x tend vers 1.
J'ai une confusion concernant les limites. Est-ce que c'est (1-2x) qui doit tendre vers 0 ? De quel DL3 doit-on alors parler ?

1.b Pourquoi dois-je en premier lieux chercher le DL de f pour ensuite composer g o f ? Ne puis-je pas directement remplacer l'expression de f dans le DL de g ?

2. Je dois chercher le DL3(0) de x --> afin finalement de trouver le DL3(0) de x--> , connaissant le DLn(0) de x-->ln(1+x)
Je ne sais pas comment commencer, car la fonction racine n'est pas dérivable en 0...

Cordialement.
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[gg0]

Bonjour.

1) Quand x tend vers 0, 1-2x tend vers 1, donc pour avoir le DL(0) de arcsin(1-2x), il te faudra avoir le DL en 1 de arcsin. Par contre, le DL en 0 de arcsin peut te permettre de développer arcsin(1-2x) au voisinage de 1/2 où 1-2x s'annule.
"Ne puis-je pas directement remplacer l'expression de f dans le DL de g ?" Si, mais généralement ça ne sert pas vraiment, puisqu'on remplacera f par son DL.
2) Tu es sûr de ce que tu dis ? Tu dois vraiment chercher ce DL à l'ordre 3 ? Car la fonction n'est pas dérivable en 0; le fait que ne soit pas dérivable ne suffit pas à le prouver (*), un calcul direct de la dérivée en 0 est à faire.

Cordialement.

(*) est dérivable en 0, de même que

[invited5e782d8]

1) Quand x tend vers 0, 1-2x tend vers 1, donc pour avoir le DL(0) de arcsin(1-2x), il te faudra avoir le DL en 1 de arcsin. Par contre, le DL en 0 de arcsin peut te permettre de développer arcsin(1-2x) au voisinage de 1/2 où 1-2x s'annule.

J'ai compris le principe, merci.

1. Cependant j'éprouve des difficultés à calculer le DL(1) de arcsin, étant donné que la pente de x-->arcsin(x) tend vers + infini lorsque x tend vers 1. Comment faire ?

2. Comment faire pour trouver le DL(1/2) de x-->1-2x ? En utilisant la formule de Taylor-Young j'obtiens 1-2x = -2x + o (x^3). C'est peut-être le bon résultat, mais il me semble très suspect, car graphiquement les deux fonctions sont éloignées l'une de l'autre sur R... Qu'en est-il ?

2) Tu es sûr de ce que tu dis ? Tu dois vraiment chercher ce DL à l'ordre 3 ? Car la fonction n'est pas dérivable en 0

En faite je dois trouver un DL3(0) de l'intégrale trouvée avec vous ici : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5456681. Peut-être nous sommes nous trompé dans ce précédent calcul..?

x--> est dérivable en 0

Reprenons ce calcul : lorsque x tend vers 0-
A part erreur de ma part, il me semble que cette fonction n'est pas dérivable en 0.

Cordialement.

[gg0]

1) Arcsin a-t-il des DL en 1 ? A quel ordre ?
Ensuite, il te suffit de conclure.
2) "Comment faire pour trouver le DL(1/2) de x-->1-2x ? " En appliquant la formule de Taylor en 1/2, ou en faisant le changement de variable t=x-1/2. Dans les deux cas (fais-les) tu trouves

C'est à dire, pour n>0 :

ce qui assez évident, le o(..) étant en plus ici nul.

Pour la suite, comme je n'ai pas le sujet, que tu as présenté des bouts de calculs et que je ne sais pas trop quelle est l'intégrale, je ne me prononcerai pas sur ce sujet. Mais ton intégrale étant une primitive, à priori elle est dérivable et a donc un DL d'ordre 1. Ce n'est pas le cas de arcsin(1-2x) en 0. Il y a un problème !

Enfin, le calcul de dérivé que tu fais à la fin n'a rien à voir avec celui que je proposais, où il y a un que tu n'as pas repris.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5e782d8]

1) Arcsin a-t-il des DL en 1 ? A quel ordre ?

Pour avoir le DL(0) de arcsin(1-2x), il te faudra avoir le DL en 1 de arcsin

1. Arcsin n'a qu'un DL0(1) car arcsin'(1) n'est pas définie. Cependant, à moins que je me sois trompé, comment avancer plus avec seulement un DL0 ?

2) "Comment faire pour trouver le DL(1/2) de x-->1-2x ? " En appliquant la formule de Taylor en 1/2, ou en faisant le changement de variable t=x-1/2.

2. Très bien, j'ai un peu mieux compris le cours !

Pour la suite, comme je n'ai pas le sujet, que tu as présenté des bouts de calculs et que je ne sais pas trop quelle est l'intégrale, je ne me prononcerai pas sur ce sujet. Mais ton intégrale étant une primitive, à priori elle est dérivable et a donc un DL d'ordre 1. Ce n'est pas le cas de arcsin(1-2x) en 0. Il y a un problème !

Je vous joins l'énoncé ainsi que mon calcul de l'intégrale.

[invited5e782d8]

Édit : ce sont les questions 8 et 10 qui posent problème

[invited5e782d8]

Édit : ce sont les questions 8 et 10 qui posent problème

[gg0]

j'ai peur de ne pas pouvoir te répondre rapidement : Je pars pour 4 jours et ton document n'est pas encore visible.

[invited5e782d8]

Si vous n'avez pas le temps maintenant, j'attendrai votre réponse.
Et puis il est possible que d'autres membres me répondent.

Cordialement.

[gg0]

Je viens de regarder, je ne comprends pas non plus, la fonction est pas construction non dérivable en 0.

[invited5e782d8]

Bonjour.

Je viens de regarder, je ne comprends pas non plus, la fonction phi est pas construction non dérivable en 0.

Il se peut que l'énoncé comporte des erreurs. J'en parlerai avec mon professeur.

Concernant la question 10, j'ai . Pour trouver un DL3(0) de cette fonction, il me faut d'abord trouver le DL(0) de car je connais le DL(0) de ln(1+x). Cependant je n'arrive pas à le trouver, car le nombre dérivé de cette dernière fonction en 0 est infini...

[gg0]

Il est possible qu'il s'agisse là encore d'un DL en une autre valeur que 0. Vois avec l'auteur du sujet.