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La puissance des entiers naturels



  1. #1
    Liess K

    La puissance des entiers naturels


    ------

    Bonjour
    Existe t-il une autre méthode de calcul de la puissance d'un entier naturel NX autre que multiplier le nombre naturel par lui même X fois. Ou une méthode permettant de confirmer le résultat? Par exemple pour faire le calcul de 137, on doit multiplier (13 X 13) 6 fois. Une fois le résultat est obtenue, existe t-il une autre méthode confirmant le résultat? Tout comme par l'addition on confirme la soustraction et par la multiplication on s'assure de la division.

    Cordialement

    -----

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  3. #2
    gg0

    Re : La puissance des entiers naturels

    Bonjour.

    Il existe des méthodes de vérification imparfaite (par exemple usage de la preuve par 9), mais pas de confirmer le résultat. L'opération inverse est assez difficile, et surtout basée sur le calcul de puissances !
    Il est possible de diminuer le nombre de multiplications en utilisant la décomposition de l'exposant en puissances de 2. par exemple pour 137, au lieu de faire 6 multiplications, on calcule 13², puis son carré 134, puis on multiplie ces deux puissances, et on multiplie encore par 13; on a fait 4 multiplications au lieu de 6. Pour 138, 3 multiplications suffisent, au lieu de 7.
    A noter : Le fait que N soit un entier n'a pas d'importance. Pour d'autres nombres, on fait pareil.

    Cordialement.

  4. #3
    minushabens

    Re : La puissance des entiers naturels

    Anciennement on utilisait une table de logarithmes. Ca suppose d'être capable d'estimer l'ordre de grandeur de la puissance à calculer.

  5. #4
    Tryss2

    Re : La puissance des entiers naturels

    Et en gros pour calculer a^n avec cette méthode, il n'y a besoin que de faire un nombre de multiplication de l'ordre de ln(n). Pour calculer 13^2048, seulement 11 multiplications sont nécessaires (au lieu de 2047 avec la méthode naïve) :

  6. #5
    gg0

    Re : La puissance des entiers naturels

    Attention, Minushabens,

    avec les tables de logarithmes on n'obtenait généralement que des valeurs approchées

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    minushabens

    Re : La puissance des entiers naturels

    oui bien sûr, mais si on a assez de décimales et si on sait que le résultat est entier, on doit pouvoir trouver la bonne valeur.

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  10. #7
    Médiat

    Re : La puissance des entiers naturels

    Bonjour,

    Ce n'est pas une question de décimales, mais de nombre de chiffres significatifs (c'est clair que pour calculer 17^7, cela va marcher, mais pour calculer 12^321 vous n'aurez pas assez de chiffres significatifs avec les tables de log usuelles comme Bouvart et Ratinet (ah les mauvais souvenirs) qui ont 5 décimales).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #8
    gg0

    Re : La puissance des entiers naturels

    Heu ... avec les grosses tables de log des astronomes, on obtenait 4 ou 5 chiffres significatifs, ce qui est un peu juste pour calculer la puissance septième de 13 avec ses 8 chiffres; il fallait donc trouver les 3 derniers, ce qui est possible (calcul modulo 1000), mais dangereux à cause des arrondis du calcul logarithmique. Finalement, le calcul à la main était assez rapide. Avant l'arrivée des calculatrices, on calculait beaucoup à la main.

    Cordialement.

  12. #9
    Liess K

    Re : La puissance des entiers naturels

    Merci de vos réponses et par vos réponses, le sujet devient très intéressant.
    Il existe une méthode qui nous permet de calculer n'importe quelle puissance de n'importe quel entier naturel sans le multiplier par lui même le nombre de fois que demande la méthode connue. la multiplication de plusieurs termes selon la puissance demandée de l'entier devient une addition de deux termes et tout le calcul se fait et s'inspire de l'entier lui même.
    133 = 2197=1443+ 58x 13
    144 = 38416= 15554+ 1633x14
    L’opération devient
    Nx= A+bN quelque soit N et x
    Le terme (A) le coefficient (b) se calculent facilement de l'entier (N)
    Dernière modification par Liess K ; 29/12/2015 à 12h37.

  13. #10
    gg0

    Re : La puissance des entiers naturels

    Si je comprends bien, tu utilises la décomposition 13=11+2, 14=11+3. C'est un "truc" de calcul mental, pour des petites puissances de nombres un peu supérieurs à 11. Ce que tu ne disais pas dans ton premier message.
    "Il existe une méthode qui nous permet de calculer n'importe quelle puissance de n'importe quel entier naturel sans le multiplier par lui même le nombre de fois que demande la méthode connue." Je ne te crois pas. Tu extrapoles sur des cas élémentaires. C'est tout à fait inutilisable pour 5843121. Et même, je voudrais bien voir ce que tu fais pour 13^12.

    "Le terme (A) le coefficient (b) se calculent facilement de l'entier (N) " avec combien de multiplications ?

    Cordialement.
    Dernière modification par gg0 ; 29/12/2015 à 13h40.

  14. #11
    Liess K

    Re : La puissance des entiers naturels

    On a rien à décomposer; il suffit selon une méthode connue d'avance, mettre la formule Nx= A+bN en tête et déchiffrer le mettre en une somme

    123= 1332+ 33x 12 33= 122- 111= 144-111
    133= 1443+ 58x 13 58= 132- 111= 169-111
    143= 1554+ 85x 14 85= 142- 111= 196-111
    153= 1665+114x15
    163=1776+ 145x 16
    173= 1887+178x17

    1332= 12+120+1200 (la somme de trois fois 12 décalée d'un chiffre)
    12
    012
    012

    124= 13332+ 617x 12 617= 123- 1111
    134= 14443+ 1086x13 1086= 133-1111
    144= 15554+1633x 12 1633= 143-1111


    Selon ce que tu as devant les yeux, tu peux continuer le calcul pour vous habituer avec la méthode avant de te révéler l'étonnant secret de cette méthode.
    La splendeur des chiffres va s’éclater.


    Merci

  15. #12
    Liess K

    Re : La puissance des entiers naturels

    123= 1332+ 33x 12
    133= 1443+ 58x 13
    143= 1554+ 85x 14 85= 142- 111= 196-111
    153= 1665+114x15
    163=1776+ 145x 16
    173= 1887+178x17

    33= 122- 111= 144-111
    58= 132- 111= 169-111

    1332= 12+120+1200 (la somme de trois fois 12 décalée d'un chiffre)
    12
    012
    0012

    124= 13332+ 617x 12
    134= 14443+ 1086x13
    144= 15554+1633x 12


    617= 123- 1111
    1086= 133-1111
    1633= 143-1111

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  17. #13
    ansset

    Re : La puissance des entiers naturels

    erreur , à reformuler
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  18. #14
    ansset

    Re : La puissance des entiers naturels

    en fait , tu proposes une méthode compliquée qui calcule a^n en connaissant a^(n-1).
    c'est juste ça ?
    Dernière modification par ansset ; 29/12/2015 à 17h24.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  19. #15
    gg0

    Re : La puissance des entiers naturels

    LiessK,

    Pour 133, tu as fait 2 multiplications plus des additions ! Il suffit de 2 multiplications pour obtenir 133 directement !! Et pour calculer 134, il te faut déjà connaître 133. Donc ça ne sert à rien. 134 s'obtient en une multiplication à partie de 133, pas la peine de compliquer.
    Ce n'est toujours qu'un petit je de chiffres ....

    Tu ne m'as toujours pas dit ce que tu faisais pour 1312 !

    Bon, pour l'instant, pas de mathématiques. Enfin, toi tu n'en as pas mis. Moi j'en vois, mais je ne te dirai rien, car tu joues.

  20. #16
    ansset

    Re : La puissance des entiers naturels

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Tu ne m'as toujours pas dit ce que tu faisais pour 1312 !
    ben si j'en crois ce qu'il prend pour de la magie.
    il connait déjà ( par magie ) 1311 et fait 2 multiplications et une addition.
    au lieu d'une seule multiplication.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  21. #17
    Liess K

    Re : La puissance des entiers naturels

    La nouvelle méthode de calcul de la puissance des entiers naturels dite calcul par décalage représente une ordonnance bien strict, lorsqu'on s"enfonce dans les calculs les chiffres et es nombres commencent à révéler des mystères des suites des danses rythmés, des quotients ordonnées selon des lois cherchant une formule. les nombres sont interminables, les calculs aussi n'attendez pas des miracles avec de grandes puissances il faut avant tout être patient, s'habituer de cette méthode, s’entrainer et les résultats viennet à vous. Bonne casse tête. les chiffres font de l'hypnose.
    Je garde biensur pas mal de secrets de cette methode, surtout le calcul direct de la puissance d'un naturel juste en regardant le nombre, le decomposer, le déchiffrer et l'obtention du résultat. .
    1211= 133333333332+ b1211x 12
    1) Calcul de b1211 à partir de b123
    b123= 33 avec 33= 144- 111
    b124 = (33x12) + 221= 617 et 617= 123 - 1111
    b125= (617x 12) + 2221= 9625 9625= 12
    b126 = (9625x12) + 22221= 137721
    b127 = (137721x12) + 222221

    à la fin nous aurons le (b) de 1211
    2) autre methode de calcul
    (132x 12)- 1111+ 144 = 1584+ 1 x 122-1111= 617= b124
    (143x13) - 1111+ 2x 169= 1859+ 2x 132- 1111=1086=b134
    (154x14)- 1111 + 3x 196= 2156 + 3x 142- 1111= 1633= b144

    autres méthodes de de calculs
    114= 11000+331x11
    124= 12000+ 728x 12
    134= 13000+ 1197 x 14
    144= 14000+ 1744x 14
    15 = 15000+ 2375 x 15
    Sans les inviter, les trois chiffres en rouge sont les trois derniers chiffres de 113, 123, 133....

    116= 1771561= 1210000+ 11x 51051 115= 161051
    126= 2895984= 1320000+ 12x 138832 125= 248832
    136=4826809= 1430000+ 13x 261293 135= 371293
    Cette fois malgré que la méthode de décalage est autrement faite mais les chiffres viennent sans les inviter
    115= 110000+ 4641x11 avec 4641- 1111= 3530= b115
    125 = 120000+ 10736x12 avec 10736-1111= 9625= b125
    135= 13000+ 18561x 13 avec 18561- 1111= 17450= b125

  22. #18
    Médiat

    Re : La puissance des entiers naturels

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Liess K Voir le message
    Je garde biensur pas mal de secrets de cette methode,
    Ceci n'est pas la philosophie d'un forum d'entraide : on ferme !

    Médiat, pour la modération
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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